Se considerarmos a equação
com a condição inicial
, ao aplicarmos o Método de Newton é obtido
e
. Quais os valores de
e
neste caso?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que, ao aplicar o Método de Newton com
, obtém-se
e
. A pergunta é: quais são os valores de
e
?
Informações relevantes fornecidas:
- A função considerada é
. - A derivada é
. - Iterações de Newton:
, , . - O objetivo é encontrar
e .
Passo 2
Recordando o Método de Newton: a iteração é dada por
Aqui
é o valor da função no ponto
e
é a derivada nesse ponto. Para aplicar, basta calcular
e
nos pontos dados e usar a fórmula.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
(ou seja, do
para
):
Como
, calculemos
e
:
Logo
Mas o enunciado diz que
. Portanto
Resolvendo para
:
Observação rápida: para que a fórmula faça sentido precisamos de
, ou seja
. Encontramos
, que é compatível.
Passo 4
Agora use a informação
e
. Pelo Método de Newton:
Se
, então necessariamente
. Como
não é infinito, isso implica
. Assim
é raiz da função, isto é:
Calcule
substituindo
:
Então a equação
fica
Resolvendo para
:
Passo 5
Verificação rápida de consistência: com
e
,
portanto a iteração de Newton em
está bem definida e realmente leva a
pois
.