Se considerarmos a equação x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x-2=0 com a condição inicial x_{0}=0, ao aplicarmos o Método de Newton é obtido x_{1}=2 e x_{2}=2. Quais os valores de \alpha e \beta neste caso?

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x-2=0
e diz que, ao aplicar o Método de Newton com x_{0}=0, obtém-se x_{1}=2 e x_{2}=2. A pergunta é: quais são os valores de \alpha e \beta?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é f(x)=x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x-2.
  • A derivada é f'(x)=3x^{2}-2\alpha x-\beta.
  • Iterações de Newton: x_{0}=0, x_{1}=2, x_{2}=2.
  • O objetivo é encontrar \alpha e \beta.

Passo 2

Recordando o Método de Newton: a iteração é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n} e f'(x_{n}) é a derivada nesse ponto. Para aplicar, basta calcular f e f' nos pontos dados e usar a fórmula.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=0 (ou seja, do x_{0} para x_{1}):
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}.
Como x_{0}=0, calculemos f(0) e f'(0):
f(0)=0^{3}-\alpha\cdot0^{2}-\beta\cdot0-2=-2,
f'(0)=3\cdot0^{2}-2\alpha\cdot0-\beta=-\beta.
Logo
x_{1}=0-\frac{-2}{-\beta}=-\frac{2}{\beta}.
Mas o enunciado diz que x_{1}=2. Portanto
-\frac{2}{\beta}=2.
Resolvendo para \beta:
-2=2\beta \quad\Rightarrow\quad \beta=-1.
Observação rápida: para que a fórmula faça sentido precisamos de f'(0)\neq0, ou seja \beta\neq0. Encontramos \beta=-1, que é compatível.

Passo 4

Agora use a informação x_{1}=2 e x_{2}=2. Pelo Método de Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}.
Se x_{2}=x_{1}, então necessariamente \dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=0. Como f'(x_{1}) não é infinito, isso implica f(x_{1})=0. Assim x_{1}=2 é raiz da função, isto é:
f(2)=2^{3}-\alpha\cdot2^{2}-\beta\cdot2-2=0.
Calcule f(2) substituindo \beta=-1:
f(2)=8-4\alpha-2\cdot(-1)-2=8-4\alpha+2-2=8-4\alpha.
Então a equação f(2)=0 fica
8-4\alpha=0.
Resolvendo para \alpha:
4\alpha=8 \quad\Rightarrow\quad \alpha=2.

Passo 5

Verificação rápida de consistência: com \alpha=2 e \beta=-1,
f'(2)=3\cdot2^{2}-2\cdot2\cdot2-(-1)=12-8+1=5\neq0,
portanto a iteração de Newton em x_{1}=2 está bem definida e realmente leva a x_{2}=2 pois f(2)=0.

Resposta

\alpha=2
\beta=-1

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