- Mostre que a função
satisfaz a equação de Laplace; então, faça a substituição
mostre que a função resultante de
satisfaz a forma polar da equação de Laplace, dada na parte (e) do Exercício 57.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
, e depois, usando a mudança
,
, verificar que a expressão em
satisfaz a forma polar da equação de Laplace.
Passo 2
Vamos chamar
. Então
e, pela regra da cadeia,
z_x=\frac{u_x}{1+u^2},\quad z_y=\frac{u_y}{1+u^2}.
Passo 3
Calculando
e
:
u_x=\frac{2y(x^2-y^2)-2xy\cdot2x}{(x^2-y^2)^2}=-\frac{2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2},
u_y=\frac{2x(x^2-y^2)-2xy\cdot(-2y)}{(x^2-y^2)^2}=\frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}.
Passo 4
Observe que
1+u^2=1+\frac{4x^2y^2}{(x^2-y^2)^2}=\frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2-y^2)^2}.
Logo,
z_x=-\frac{2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot\frac{(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{2y}{x^2+y^2},
z_y=\frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot\frac{(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x}{x^2+y^2}.
Passo 5
Agora derivamos de novo para obter
z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{2y}{x^2+y^2}\Bigr)=4xy\big/(x^2+y^2)^2,
z_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x}{x^2+y^2}\Bigr)=-4xy\big/(x^2+y^2)^2.
Passo 6
Como
, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cartesianas.
Passo 7
Usando
,
, temos
\frac{2xy}{x^2-y^2}=\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}=\tan(2\theta),
logo
z(r,\theta)=\arctan(\tan(2\theta))=2\theta.
Passo 8
Em coordenadas polares a equação de Laplace é
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,z_r\bigr)+\frac{1}{r^2}z_{\theta\theta}=0.
Como
e
, o lado esquerdo vira
. Portanto a forma polar da equação de Laplace também é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz
. Em coordenadas polares ela se reduz a
, e como
,
, verifica-se que
Logo, a forma polar da equação de Laplace também fica satisfeita.