1. Mostre que a função
z=arctg 2 x yx^2-y^2
satisfaz a equação de Laplace; então, faça a substituição x=r cos theta, y=r sen theta e mostre que a função resultante de r e theta satisfaz a forma polar da equação de Laplace, dada na parte (e) do Exercício 57.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função z(x,y)=arctanl(tfrac2xyx^2-y^2r) satisfaz a equação de Laplace zxx+zyy=0, e depois, usando a mudança x=rcostheta, y=rsintheta, verificar que a expressão em (r,theta) satisfaz a forma polar da equação de Laplace.

Passo 2

Vamos chamar u(x,y)=tfrac2xyx^2-y^2. Então z=arctan u e, pela regra da cadeia,
z_x=\frac{u_x}{1+u^2},\quad z_y=\frac{u_y}{1+u^2}.

Passo 3

Calculando ux e uy:
u_x=\frac{2y(x^2-y^2)-2xy\cdot2x}{(x^2-y^2)^2}=-\frac{2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2},
u_y=\frac{2x(x^2-y^2)-2xy\cdot(-2y)}{(x^2-y^2)^2}=\frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}.

Passo 4

Observe que
1+u^2=1+\frac{4x^2y^2}{(x^2-y^2)^2}=\frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2-y^2)^2}.
Logo,
z_x=-\frac{2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot\frac{(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{2y}{x^2+y^2},
z_y=\frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot\frac{(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x}{x^2+y^2}.

Passo 5

Agora derivamos de novo para obter
z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{2y}{x^2+y^2}\Bigr)=4xy\big/(x^2+y^2)^2,
z_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x}{x^2+y^2}\Bigr)=-4xy\big/(x^2+y^2)^2.

Passo 6

Como zxx+zyy=4xy/(x^2+y^2)^2-4xy/(x^2+y^2)^2=0, concluímos que z satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cartesianas.

Passo 7

Usando x=rcostheta, y=rsintheta, temos
\frac{2xy}{x^2-y^2}=\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}=\tan(2\theta),
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z(r,\theta)=\arctan(\tan(2\theta))=2\theta.

Passo 8

Em coordenadas polares a equação de Laplace é
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,z_r\bigr)+\frac{1}{r^2}z_{\theta\theta}=0.
Como zr=0 e zthetatheta=0, o lado esquerdo vira 0+0=0. Portanto a forma polar da equação de Laplace também é satisfeita.

Resposta

A função z(x,y)=arctanl(tfrac2xyx^2-y^2r) satisfaz zxx+zyy=0. Em coordenadas polares ela se reduz a z(r,theta)=2theta, e como zr=0, zthetatheta=0, verifica-se que
1rpartialpartial r(r zr)+1r^2zthetatheta=0
Logo, a forma polar da equação de Laplace também fica satisfeita.

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