Questão 01: Sejam A , B e C pontos do plano cartesiano.
b) Determine, caso exista, a equação cartesiana da parábola que passa pelos pontos e C . Caso não exista parábola que passe pelos 3 pontos, explique a razão disso.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano cartesiano: A(6,15), B(1,14) e C(16,12). O conteúdo que vamos usar aqui é o de parábolas e sistemas de equações. Para encontrar a equação da parábola que passa por esses pontos, vamos precisar montar um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a equação geral de uma parábola no plano cartesiano pode ser escrita como:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos usar os três pontos fornecidos para montar nosso sistema de equações. Substituindo as coordenadas de cada ponto na equação da parábola:
Para o ponto A(6,15):
Para o ponto B(1,14):
Para o ponto C(16,12):
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos eliminar (36a + 6b + c) - (a + b + c) = 15 - 14 35a + 5b = 1 (Equação 4) subtraindo a Equação 2 da Equação 1 e da Equação 3.
Subtraindo Equação 2 da Equação 1:
(256a + 16b + c) - (a + b + c) = 12 - 14 255a + 15b = -2 (Equação 5) çã
Subtraindo Equação 2 da Equação 3:
çã
Passo 5
Agora, temos o sistema reduzido:
35a + 5b = 1 (4) 255a + 15b = -2 (5)
Podemos simplificar a Equação 4 dividindo todos os termos por 5:
7a + b = 0.2 (Equação 6) çã
E simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 15:
17a + b = -0.1333 (Equação 7) çã
Passo 6
Agora, vamos subtrair a Equação 6 da Equação 7 para eliminar (17a + b) - (7a + b) = -0.1333 - 0.2 10a = -0.3333 a = -0.03333 :
Passo 7
Com o valor de 7(-0.03333) + b = 0.2 -0.2333 + b = 0.2 b = 0.4333 encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar :
Passo 8
Agora que temos -0.03333 + 0.4333 + c = 14 0.4 + c = 14 c = 13.6 e , vamos usar a Equação 2 para encontrar :
Resposta
A equação cartesiana da parábola que passa pelos pontos A, B e C é: