Mostre que a função
não é contínua na origem (0, 0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você quer é mostrar que a função $ g(x, y) $ definida por
não é contínua na origem
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e verificar se o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa continuidade em duas variáveis. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual a $ f(a, b) $.
Então, para $ g(x, y) $ ser contínua em
, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
. Para facilitar, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam
a
.
Primeiro, consideremos o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, onde $ y = x $. Substituindo na função:
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ \cos(2x) $ se aproxima de $ \cos(0) = 1 $. Portanto:
Passo 5
Observamos que os limites ao longo dos caminhos $ y = 0 $ e $ y = x $ resultaram em valores diferentes: 0 e $ \frac{1}{2} $, respectivamente. Isso significa que o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
depende do caminho escolhido.
Passo 6
Como o limite depende do caminho e não é o mesmo em todos os casos, concluímos que o limite $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} g(x, y) $ não existe de forma única. Portanto, não é igual ao valor da função na origem, que é 0.
Resposta
A função $ g(x, y) $ não é contínua na origem
porque o limite quando
se aproxima de
não existe de forma única.