Mostre que a função g(x, y)=ccccx y cos (x+y)x^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0) não é contínua na origem (0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você quer é mostrar que a função $ g(x, y) $ definida por
g(x, y)
não é contínua na origem g(x, y) = x y cos (x + y)x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e verificar se o limite de $ g(x, y) $ quando (0, 0) se aproxima de g(x, y) é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa continuidade em duas variáveis. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual a $ f(a, b) $.
Então, para $ g(x, y) $ ser contínua em (x, y), precisamos que:
(a, b)

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando g(x, y) se aproxima de (x, y). Para facilitar, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam (0,0) a (x, y).
Primeiro, consideremos o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo na função:
(0,0)
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, onde $ y = x $. Substituindo na função:
y = x
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ \cos(2x) $ se aproxima de $ \cos(0) = 1 $. Portanto:
g(x, x) = x cdot x cdot cos(x + x)x^2 + x^2 = x^2 cos(2x)2x^2 = cos(2x)2

Passo 5

Observamos que os limites ao longo dos caminhos $ y = 0 $ e $ y = x $ resultaram em valores diferentes: 0 e $ \frac{1}{2} $, respectivamente. Isso significa que o limite de $ g(x, y) $ quando y = 0 se aproxima de y = x depende do caminho escolhido.

Passo 6

Como o limite depende do caminho e não é o mesmo em todos os casos, concluímos que o limite $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} g(x, y) $ não existe de forma única. Portanto, não é igual ao valor da função na origem, que é 0.

Resposta

A função $ g(x, y) $ não é contínua na origem g(x, y) porque o limite quando (0,0) se aproxima de (x, y) não existe de forma única.

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