Considere a função f(x, y)=cccccx+4 y^3x^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0)
Determine partial fpartial y(x, y) para (x, y) neq(0,0) e partial fpartial y(0,0) caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
f(x, y) = x + 4y^3x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $, para todos os pontos $ (x, y) $ diferentes de $ (0,0) $ e também verificar se essa derivada existe em $ (0,0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a regra do quociente e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y} $ para $ (x, y) \neq (0,0) $. Como a função é uma fração, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivadas parciais. A regra do quociente diz que, se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
partial fpartial y
No nosso caso, $ u = x + 4y^{3} $ e $ v = x^{2} + y^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
u
v

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot 12y^2 - (x + 4y^3) cdot 2y(x^2 + y^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
(x^2 + y^2) cdot 12y^2 = 12y^2x^2 + 12y^4
(x + 4y^3) cdot 2y = 2xy + 8y^4
Então:
partial fpartial y = 12y^2x^2 + 12y^4 - 2xy - 8y^4(x^2 + y^2)^2
Simplificando mais:
12y^2x^2 + 12y^4 - 8y^4 = 12y^2x^2 + 4y^4
Então:
partial fpartial y = 12y^2x^2 + 4y^4 - 2xy(x^2 + y^2)^2
Podemos fatorar um 2 no numerador:
partial fpartial y = 2(6y^2x^2 + 2y^4 - xy)(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
partial fpartial y(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Então:
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 f(0, h) - f(0,0)h
Vamos encontrar $ f(0, h) $:
f(0,0) = 0
Então:
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 f(0, h)h

Resposta

Para todo $ (x, y) \neq (0,0) $:
(x, y) neq (0,0)
E em $ (0,0) $:
partial fpartial y = 2(6y^2x^2 + 2y^4 - xy)(x^2 + y^2)^2

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