Considere a função
Determine
para
e
caso exista.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $, para todos os pontos $ (x, y) $ diferentes de $ (0,0) $ e também verificar se essa derivada existe em $ (0,0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a regra do quociente e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y} $ para $ (x, y) \neq (0,0) $. Como a função é uma fração, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivadas parciais. A regra do quociente diz que, se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
No nosso caso, $ u = x + 4y^{3} $ e $ v = x^{2} + y^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Simplificando mais:
Então:
Podemos fatorar um 2 no numerador:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Então:
Vamos encontrar $ f(0, h) $:
Então:
Resposta
Para todo $ (x, y) \neq (0,0) $:
E em $ (0,0) $: