Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr, sem resolver a integral diretamente. Vamos usar teoria de transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de convolução.
Passo 2
Repare que ∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr tem a forma de convolução (fg)(t)=∫₀ᵗ f®·g(t−r) dr. Então identificamos f®=r e g®=e^r, de modo que fg gera exatamente ∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr.
Passo 3
Pela propriedade da convolução a transformada de Laplace satisfaz:
$$\mathcal{L}{f*g}=\mathcal{L}{f}\cdot\mathcal{L}{g}.
$$
Passo 4
Agora basta calcular as transformadas individuais:
$$\mathcal{L}{∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr}=\frac{1}{s2}\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{1}{s2(s-1)}.
$$