Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.
Lintegral0^t r e^t-r d r

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr, sem resolver a integral diretamente. Vamos usar teoria de transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de convolução.

Passo 2

Repare que ∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr tem a forma de convolução (fg)(t)=∫₀ᵗ f®·g(t−r) dr. Então identificamos f®=r e g®=e^r, de modo que fg gera exatamente ∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr.

Passo 3

Pela propriedade da convolução a transformada de Laplace satisfaz:
$$\mathcal{L}{f*g}=\mathcal{L}{f}\cdot\mathcal{L}{g}.
$$

Passo 4

Agora basta calcular as transformadas individuais:
Lr=1s^2, Le^t=1s-1 Multiplicando os resultados obtemos:
$$\mathcal{L}{∫₀ᵗ r·e^{t−r} dr}=\frac{1}{s2}\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{1}{s2(s-1)}.
$$

Resposta

1s^2,(s-1)

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