Mostre que a função
f(x)=\cos x-x
possui pelo menos uma raiz no intervalo [0,1] e realize duas iterações do método da bissecção.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos x - x
e o intervalo [0,1]. Pede duas coisas:
  • mostrar que f possui pelo menos uma raiz em [0,1];
  • realizar duas iterações do método da bissecção para aproximar essa raiz.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • a função explícita f(x)=\cos x - x;
  • o intervalo inicial para procurar a raiz é [0,1].

Passo 2

Ideia chave para mostrar existência de raiz: teorema do valor intermediário (TVI). Vou explicar o que ele diz de um jeito simples.
O que é preciso saber sobre TVI (explicação didática):
  • Se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e os valores g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Intuição: uma função contínua que vai de positivo para negativo (ou vice‑versa) tem que cruzar o eixo x.
Agora aplicando isso ao nosso caso:
  • A função \cos x é contínua para todo real; a função x também é contínua; a diferença de funções contínuas é contínua. Logo
f(x)=\cos x - x
é contínua em [0,1].
Calcule os valores nas extremidades (a conta é direta):
f(0)=\cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1.
f(1)=\cos 1 - 1 \approx 0{,}5403023059 - 1 = -0{,}4596976941.
Observação: usei a aproximação \cos 1 \approx 0{,}5403023059 (valor conhecido/tabela/calculadora). O que importa aqui é o sinal.
Como f(0)=1>0 e f(1)\approx -0{,}4597<0, temos f(0)\cdot f(1)<0. Pela TVI, existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Isso prova que há pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Agora vou explicar o método da bissecção (de forma prática, como usar na prova) e realizar as duas primeiras iterações.
Descrição do método (passo a passo e porquê):
  • Partimos de um intervalo [a,b] onde f é contínua e f(a)\cdot f(b)<0. Isso garante existência de raiz.
  • Calcula‑se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
  • Avalia‑se f(m).
    • Se f(m)=0 então m é a raiz exata.
    • Se f(a)\cdot f(m)<0, então a raiz está em [a,m] e usamos esse como novo intervalo.
    • Se f(m)\cdot f(b)<0, então a raiz está em [m,b] e usamos esse como novo intervalo.
  • Repetir o processo reduzindo o tamanho do intervalo pela metade a cada iteração; após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^n.
Fórmulas úteis:
m=\frac{a+b}{2}.
Condição de escolha do subintervalo com raiz:
  • manter o intervalo onde os sinais de f nos extremos são opostos.

Passo 4

Primeira iteração (iteracao 1):
Dados iniciais: a_0=0, b_0=1. Já sabemos f(a_0)=f(0)=1>0 e f(b_0)=f(1)\approx -0{,}4597<0.
Calcule o ponto médio:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
Avalie f em m_1:
f(0{,}5)=\cos(0{,}5)-0{,}5 \approx 0{,}8775825625 - 0{,}5 = 0{,}3775825625.
(Usei a aproximação \cos(0{,}5)\approx 0{,}8775825625, valor padrão.)
Sinal: f(0{,}5)>0. Temos:
  • f(a_0)=f(0)>0,
  • f(m_1)>0,
  • f(b_0)<0.
Portanto o sinal muda entre m_1 e b_0; a raiz está no subintervalo [m_1,b_0]=[0{,}5,\,1].
Definimos o novo intervalo para a próxima iteração:
a_1=0{,}5,\qquad b_1=1.

Passo 5

Segunda iteração (iteracao 2):
Partimos de a_1=0{,}5, b_1=1.
Calcule o ponto médio:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
Avalie f em m_2:
f(0{,}75)=\cos(0{,}75)-0{,}75 \approx 0{,}7316888689 - 0{,}75 = -0{,}0183111311.
(Usei a aproximação \cos(0{,}75)\approx 0{,}7316888689.)
Sinal: f(0{,}75)<0. Agora temos:
  • f(a_1)=f(0{,}5)>0,
  • f(m_2)=f(0{,}75)<0.
Portanto a raiz está no subintervalo [a_1,m_2]=[0{,}5,\,0{,}75].
Conclusão das duas iterações: após duas iterações o intervalo que garante conter a raiz é [0{,}5,\,0{,}75]. O comprimento desse intervalo é 0{,}25, que é exatamente (1-0)/2^2 como previsto pelo método.
Comentário final e incentivo: com mais iterações esse intervalo ficará tão pequeno quanto for necessário para a precisão desejada; cada iteração aproxima o zero pela metade do tamanho do intervalo anterior. Vai dar certo — continue repetindo até atingir a precisão que precisa para a prova!

Resposta

Existe pelo menos uma raiz em [0,1].
Após duas iterações do método da bissecção o intervalo que contém a raiz é \left[0{,}5,\,0{,}75\right].

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