Mostre que a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
e realize duas iterações do método da bissecção.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. Pede duas coisas:
- mostrar que
possui pelo menos uma raiz em ; - realizar duas iterações do método da bissecção para aproximar essa raiz.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- a função explícita
; - o intervalo inicial para procurar a raiz é
.
Passo 2
Ideia chave para mostrar existência de raiz: teorema do valor intermediário (TVI). Vou explicar o que ele diz de um jeito simples.
O que é preciso saber sobre TVI (explicação didática):
- Se uma função
é contínua em um intervalo fechado e os valores e têm sinais opostos (isto é, ), então existe pelo menos um ponto tal que . - Intuição: uma função contínua que vai de positivo para negativo (ou vice‑versa) tem que cruzar o eixo
.
Agora aplicando isso ao nosso caso:
- A função
é contínua para todo real; a função também é contínua; a diferença de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em
.
Calcule os valores nas extremidades (a conta é direta):
Observação: usei a aproximação
(valor conhecido/tabela/calculadora). O que importa aqui é o sinal.
Como
e
, temos
. Pela TVI, existe pelo menos um
tal que
. Isso prova que há pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Agora vou explicar o método da bissecção (de forma prática, como usar na prova) e realizar as duas primeiras iterações.
Descrição do método (passo a passo e porquê):
- Partimos de um intervalo
onde é contínua e . Isso garante existência de raiz. - Calcula‑se o ponto médio
. - Avalia‑se
. - Se
então é a raiz exata. - Se
, então a raiz está em e usamos esse como novo intervalo. - Se
, então a raiz está em e usamos esse como novo intervalo.
- Se
- Repetir o processo reduzindo o tamanho do intervalo pela metade a cada iteração; após
iterações o comprimento do intervalo é .
Fórmulas úteis:
Condição de escolha do subintervalo com raiz:
- manter o intervalo onde os sinais de
nos extremos são opostos.
Passo 4
Primeira iteração (iteracao 1):
Dados iniciais:
,
. Já sabemos
e
.
Calcule o ponto médio:
Avalie
em
:
(Usei a aproximação
, valor padrão.)
Sinal:
. Temos:
-
, -
, -
.
Portanto o sinal muda entre
e
; a raiz está no subintervalo
.
Definimos o novo intervalo para a próxima iteração:
Passo 5
Segunda iteração (iteracao 2):
Partimos de
,
.
Calcule o ponto médio:
Avalie
em
:
(Usei a aproximação
.)
Sinal:
. Agora temos:
-
, -
.
Portanto a raiz está no subintervalo
.
Conclusão das duas iterações: após duas iterações o intervalo que garante conter a raiz é
. O comprimento desse intervalo é
, que é exatamente
como previsto pelo método.
Comentário final e incentivo: com mais iterações esse intervalo ficará tão pequeno quanto for necessário para a precisão desejada; cada iteração aproxima o zero pela metade do tamanho do intervalo anterior. Vai dar certo — continue repetindo até atingir a precisão que precisa para a prova!
Resposta
Existe pelo menos uma raiz em
.
Após duas iterações do método da bissecção o intervalo que contém a raiz é .
Após duas iterações do método da bissecção o intervalo que contém a raiz é