Utilize o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação
no intervalo
, com erro máximo
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma raiz da equação
no intervalo
com erro máximo
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo inicial:
. - Erro máximo desejado:
.
O que precisa ser entregue: um valor
dentro de
que aproxime uma raiz de
tal que o erro máximo (absoluto) dessa aproximação seja no máximo
.
Passo 2
Explicando o método da bissecção (passo a passo e a ideia por trás):
- Premissa: se
é contínua em e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz . - A cada iteração se calcula o ponto médio
- Testa-se o sinal de
: - Se
, a raiz está em e tomamos . - Caso contrário, a raiz está em
e tomamos .
- Se
- Repetimos até que o critério de parada seja satisfeito.
Critério de erro (importante para saber quantas iterações são necessárias):
- Após
iterações o comprimento do intervalo é
- O erro máximo ao tomar o ponto médio atual
como aproximação da raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo:
- Para garantir
basta exigir
que implica
Agora aplicando ao nosso caso:
e
. Então
Portanto são necessárias
iterações para garantir o erro máximo pedido (usar o inteiro superior).
Vamos então executar 9 iterações da bissecção, anotando cuidadosamente
,
,
e
em cada passo.
Passo 3
Verificação inicial de troca de sinais:
Como
e
, há uma raiz em
. Começamos as iterações.
Iteração 1:
Calcule
:
Sinal de
é negativo, logo a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 4
Iteração 2:
Calcule
:
Sinal positivo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 3:
Calcule
:
Sinal positivo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 4:
Calcule
:
Sinal positivo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 7
Iteração 5:
Calcule
:
Sinal positivo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 8
Iteração 6:
Calcule
. Para obter exatamente:
Assim
. Sinal negativo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 9
Iteração 7:
Calcule
(cálculo exato por frações binárias):
Sinal positivo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 10
Iteração 8:
Calcule
(novamente via frações):
Sinal negativo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
Passo 11
Iteração 9:
Calcule
:
Sinal positivo, então após a 9ª iteração o intervalo ficou
Agora verificação do erro:
- Comprimento do intervalo após 9 iterações:
- Erro máximo ao tomar
como aproximação é no máximo metade desse comprimento:
Portanto a condição de erro
está satisfeita com 9 iterações.