Utilize o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}-x-2
no intervalo [1,2], com erro máximo \varepsilon=10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}-x-2
no intervalo [1,2] com erro máximo \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-x-2.
  • Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[1,2].
  • Erro máximo desejado: \varepsilon=10^{-3}.
O que precisa ser entregue: um valor x dentro de [1,2] que aproxime uma raiz de f tal que o erro máximo (absoluto) dessa aproximação seja no máximo \varepsilon.

Passo 2

Explicando o método da bissecção (passo a passo e a ideia por trás):
  • Premissa: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz \xi\in(a,b).
  • A cada iteração se calcula o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Testa-se o sinal de f\text{(c)}:
    • Se f(a)f\text{(c)}\le 0, a raiz está em [a,c] e tomamos b\leftarrow c.
    • Caso contrário, a raiz está em [c,b] e tomamos a\leftarrow c.
  • Repetimos até que o critério de parada seja satisfeito.
Critério de erro (importante para saber quantas iterações são necessárias):
  • Após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n=\frac{b-a}{2^{n}}.
  • O erro máximo ao tomar o ponto médio atual c_n como aproximação da raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo:
|c_n-\xi|\le \frac{L_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Para garantir |c_n-\xi|\le \varepsilon basta exigir
\frac{b-a}{2^{n+1}}\le \varepsilon
que implica
n\ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{2\varepsilon}\right).
Agora aplicando ao nosso caso: b-a=2-1=1 e \varepsilon=10^{-3}. Então
n\ge \log_{2}\!\left(\frac{1}{2\cdot10^{-3}}\right)=\log_{2}(500)\approx 8{,}9658.
Portanto são necessárias n=9 iterações para garantir o erro máximo pedido (usar o inteiro superior).
Vamos então executar 9 iterações da bissecção, anotando cuidadosamente a, b, c e f\text{(c)} em cada passo.

Passo 3

Verificação inicial de troca de sinais:
f(1)=1^{3}-1-2=-2, \qquad f(2)=2^{3}-2-2=4.
Como f(1)=-2<0 e f(2)=4>0, há uma raiz em [1,2]. Começamos as iterações.
Iteração 1:
a_{1}=1,\quad b_{1}=2,\quad c_{1}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
Calcule f(c_{1}):
f(1{,}5)=1{,}5^{3}-1{,}5-2=3{,}375-1{,}5-2=-0{,}125<0.
Sinal de f(c_{1}) é negativo, logo a raiz está em [1{,}5,2]. Novo intervalo:
a_{2}=1{,}5,\quad b_{2}=2.

Passo 4

Iteração 2:
c_{2}=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
Calcule f(c_{2}):
f(1{,}75)=1{,}75^{3}-1{,}75-2=5{,}359375-1{,}75-2=1{,}609375>0.
Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}5,1{,}75]. Novo intervalo:
a_{3}=1{,}5,\quad b_{3}=1{,}75.

Passo 5

Iteração 3:
c_{3}=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
Calcule f(c_{3}):
f(1{,}625)=1{,}625^{3}-1{,}625-2=4{,}291015625-1{,}625-2=0{,}666015625>0.
Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}5,1{,}625]. Novo intervalo:
a_{4}=1{,}5,\quad b_{4}=1{,}625.

Passo 6

Iteração 4:
c_{4}=\frac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625.
Calcule f(c_{4}):
f(1{,}5625)=1{,}5625^{3}-1{,}5625-2=3{,}814697265625-1{,}5625-2=0{,}252197265625>0.
Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}5,1{,}5625]. Novo intervalo:
a_{5}=1{,}5,\quad b_{5}=1{,}5625.

Passo 7

Iteração 5:
c_{5}=\frac{1{,}5+1{,}5625}{2}=1{,}53125.
Calcule f(c_{5}):
f(1{,}53125)=1{,}53125^{3}-1{,}53125-2=3{,}591064453125-1{,}53125-2=0{,}059814453125>0.
Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}5,1{,}53125]. Novo intervalo:
a_{6}=1{,}5,\quad b_{6}=1{,}53125.

Passo 8

Iteração 6:
c_{6}=\frac{1{,}5+1{,}53125}{2}=1{,}515625.
Calcule f(c_{6}). Para obter exatamente:
f(1{,}515625)=\frac{97^{3}}{64^{3}}-\frac{97}{64}-2=\frac{912673-921600}{262144}=-\frac{8927}{262144}\approx-0{,}034058.
Assim f(c_{6})<0. Sinal negativo, então a raiz está em [1{,}515625,1{,}53125]. Novo intervalo:
a_{7}=1{,}515625,\quad b_{7}=1{,}53125.

Passo 9

Iteração 7:
c_{7}=\frac{1{,}515625+1{,}53125}{2}=1{,}5234375.
Calcule f(c_{7}) (cálculo exato por frações binárias):
f(1{,}5234375)=\frac{7414875-7389184}{2097152}=\frac{25691}{2097152}\approx0{,}012252>0.
Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}515625,1{,}5234375]. Novo intervalo:
a_{8}=1{,}515625,\quad b_{8}=1{,}5234375.

Passo 10

Iteração 8:
c_{8}=\frac{1{,}515625+1{,}5234375}{2}=1{,}51953125.
Calcule f(c_{8}) (novamente via frações):
f(1{,}51953125)=\frac{58863869-59047936}{16777216}=-\frac{184067}{16777216}\approx-0{,}010973<0.
Sinal negativo, então a raiz está em [1{,}51953125,1{,}5234375]. Novo intervalo:
a_{9}=1{,}51953125,\quad b_{9}=1{,}5234375.

Passo 11

Iteração 9:
c_{9}=\frac{1{,}51953125+1{,}5234375}{2}=1{,}521484375.
Calcule f(c_{9}):
f(1{,}521484375)=\frac{472729139-472645632}{134217728}=\frac{83507}{134217728}\approx0{,}000622>0.
Sinal positivo, então após a 9ª iteração o intervalo ficou
[a_{10},b_{10}]=[1{,}51953125,\,1{,}521484375].
Agora verificação do erro:
  • Comprimento do intervalo após 9 iterações:
L_{9}=b_{10}-a_{10}=1{,}521484375-1{,}51953125=\frac{1}{512}=0{,}001953125.
  • Erro máximo ao tomar c_{9} como aproximação é no máximo metade desse comprimento:
|c_{9}-\xi|\le \frac{L_{9}}{2}=\frac{1}{1024}=0{,}0009765625\le 10^{-3}.
Portanto a condição de erro \varepsilon=10^{-3} está satisfeita com 9 iterações.

Resposta

\,1{,}521484375

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