(O, 6) Mostre que a função f: R R dada por
f(x)= x^3 sin 1x, & x neq 0 0, & x=0
é derivável com derivada primeira contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3sin!l(tfrac1xr),&xneq 0, 0,&x=0,
e pede para mostrar que f é derivável em R e que a sua derivada é contínua. Para isso, vamos (i) calcular f'(x) para xneq0 usando regras de derivação, (ii) mostrar que f'(0) existe pela definição de derivada, e (iii) verificar a continuidade de f' em 0 e em todo R.

Passo 2

Para xneq0 usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) =l(x^3r)',sin!l(tfrac1xr) +x^3;l[sin!l(tfrac1xr)r]'
Como l(x^3r)'=3x^2 e
l[sin!l(tfrac1xr)r]' =cos!l(tfrac1xr),l(tfrac1xr)' =cos!l(tfrac1xr),l(-tfrac1x^2r),
temos
f'(x) =3x^2sin!l(tfrac1xr) +x^3cos!l(tfrac1xr)l(-tfrac1x^2r) =3x^2sin!l(tfrac1xr)-xcos!l(tfrac1xr)

Passo 3

Em x=0, aplicamos a definição
f'(0) =limhto0f(h)-f(0)h =limhto0h^3sin!l(tfrac1hr)h =limhto0h^2sin!l(tfrac1hr)
Como sin é limitada entre -1 e 1, segue que h^2sin(1/h)to0. Logo
f'(0)=0

Passo 4

Para verificar a continuidade de f' em 0, calculamos
limxto0f'(x) =limxto0l[3x^2sin!l(tfrac1xr)-xcos!l(tfrac1xr)r]
Aqui 3x^2sin(1/x)to0 e -xcos(1/x)to0, então limxto0f'(x)=0=f'(0).
Para xneq0, a expressão de f'(x) é soma e produto de funções polinomiais, sin e cos, todas contínuas onde definidas. Portanto f' é contínua em todo R.

Resposta

A derivada de
e . Consequentemente, é derivável com derivada primeira contínua.

Exercícios relacionados