e pede para mostrar que f é derivável em R e que a sua derivada é contínua. Para isso, vamos (i) calcular f'(x) para xneq0 usando regras de derivação, (ii) mostrar que f'(0) existe pela definição de derivada, e (iii) verificar a continuidade de f' em 0 e em todo R.
Passo 2
Para xneq0 usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui 3x^2sin(1/x)to0 e -xcos(1/x)to0, então limxto0f'(x)=0=f'(0).
Para xneq0, a expressão de f'(x) é soma e produto de funções polinomiais, sin e cos, todas contínuas onde definidas. Portanto f' é contínua em todo R.
Resposta
A derivada de
e . Consequentemente, é derivável com derivada primeira contínua.