Q 147 Deixa-se cair uma pedra em um lago de águas tranquilas, ocasionando ondas na forma de círculos concêntricos. O raio r da onda exterior está aumentando à razão constante de 1 cm / s. Quando o raio é igual a 4 cm , a que taxa está variando a área total A da água agitada?

Passo 1

O enunciado descreve um círculo de raio variável r que cresce com taxa constante tfracdrdt=1,cm/s. Queremos saber a que taxa varia a área agitada A quando r=4,cm. O conteúdo envolvido é de derivadas relacionadas (taxas de variação).

Passo 2

A área de um círculo em função do raio é
A = pi r^2
Para relacionar as taxas, diferenciamos ambos os lados em relação a t:
dAdt = ddtl(pi r^2r)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia e mantendo pi como constante, obtemos
dAdt = 2pi r,drdt
Agora é só substituir r=4,cm e tfracdrdt=1,cm/s:
dAdt = 2pi cdot 4 cdot 1 = 8pi

Resposta

A área total da água agitada está aumentando à razão de
dAdt = 8pi cm^2/s

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