Calcule a área da superfície abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área da superfície definida por $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x{2}+y{2}=1, x+y \leq z \leq 9+2x-y\right} $. Basicamente, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies usando integrais múltiplas e coordenadas apropriadas, como as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. Temos $ x^{2} + y^{2} = 1 $, que é um cilindro circular de raio 1 em torno do eixo z. As desigualdades $ x + y \leq z $ e $ z \leq 9 + 2x - y $ definem os limites inferior e superior da superfície no eixo z. Isso significa que nossa superfície é a parte do cilindro entre essas duas “cortes” planos.
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. No caso do cilindro, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o raio $ r = 1 $. Então, nossa parametrização fica:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ z $ varia de $ x + y $ a $ 9 + 2x - y $.
Passo 4
Vamos expressar os limites de $ z $ em termos de $ \theta $. Substituindo $ x = \cos\theta $ e $ y = \sin\theta $:
Então, $ z $ varia de $ \cos\theta + \sin\theta $ a $ 9 + 2\cos\theta - \sin\theta $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os vetores parciais da parametrização:
O próximo passo é encontrar o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal à superfície:
A magnitude desse vetor é:
Passo 6
A fórmula para a área da superfície é dada por:
Como a magnitude do vetor normal é 1, a integral simplifica para:
Passo 7
Integrando em relação a $ z $ primeiro:
Então, a área agora é:
Passo 8
Vamos quebrar a integral:
Calculando cada parte:
Então, a área total é:
Resposta
A área da superfície $ S $ é $ 18\pi $ unidades de área.