Calcule a área da superfície abaixo:
S=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2=1, x+y <= z <= 9+2 x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área da superfície definida por $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x{2}+y{2}=1, x+y \leq z \leq 9+2x-y\right} $. Basicamente, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies usando integrais múltiplas e coordenadas apropriadas, como as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. Temos $ x^{2} + y^{2} = 1 $, que é um cilindro circular de raio 1 em torno do eixo z. As desigualdades $ x + y \leq z $ e $ z \leq 9 + 2x - y $ definem os limites inferior e superior da superfície no eixo z. Isso significa que nossa superfície é a parte do cilindro entre essas duas “cortes” planos.

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. No caso do cilindro, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o raio $ r = 1 $. Então, nossa parametrização fica:
x^2 + y^2 = 1
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ z $ varia de $ x + y $ a $ 9 + 2x - y $.

Passo 4

Vamos expressar os limites de $ z $ em termos de $ \theta $. Substituindo $ x = \cos\theta $ e $ y = \sin\theta $:
z
theta
Então, $ z $ varia de $ \cos\theta + \sin\theta $ a $ 9 + 2\cos\theta - \sin\theta $.

Passo 5

Agora, vamos calcular os vetores parciais da parametrização:
partial rpartial theta = (-sintheta, costheta, 0)
partial rpartial z = (0, 0, 1)
O próximo passo é encontrar o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal à superfície:
partial rpartial theta times partial rpartial z = (costheta, sintheta, 0)
A magnitude desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial z | = raizcos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 6

A fórmula para a área da superfície é dada por:
Área = integral integral | partial rpartial theta times partial rpartial z | dtheta dz Á
Como a magnitude do vetor normal é 1, a integral simplifica para:
Área = integral0^2pi integralcostheta + sintheta^9 + 2costheta - sintheta dz , dtheta Á

Passo 7

Integrando em relação a $ z $ primeiro:
z
Então, a área agora é:
integralcostheta + sintheta^9 + 2costheta - sintheta dz = [ z ]costheta + sintheta^9 + 2costheta - sintheta = (9 + 2costheta - sintheta) - (costheta + sintheta) = 9 + costheta - 2sintheta Á

Passo 8

Vamos quebrar a integral:
Área = integral0^2pi 9 , dtheta + integral0^2pi costheta , dtheta - 2 integral0^2pi sintheta , dtheta Á
Calculando cada parte:
integral0^2pi 9 , dtheta = 9 times 2pi = 18pi
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Então, a área total é:
Área = 18pi + 0 - 0 = 18pi Á

Resposta

A área da superfície $ S $ é $ 18\pi $ unidades de área.

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