Mostre que a função de distribuição cumulativa para uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial
pode ser obtida pela soma das probabilidades individuais
para
variando de 0 a
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma variável aleatória
que segue uma Binomial
. A pergunta é: “mostra que a função de distribuição acumulada (CDF)
é simplesmente
Conteúdo: distribuição binomial, PMF e definição de CDF. Pra resolver a gente vai precisar (1) da fórmula da probabilidade de cada valor
em uma binomial e (2) da definição de função acumulada.
Passo 2
Primeiro, lembra a PMF (função massa de probabilidade) da Binomial:
onde
. Essa expressão dá a chance de obter exatamente
sucessos em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
.
Passo 3
Agora, o que é a função de distribuição acumulada? Por definição,
Isto é “a probabilidade de que
seja menor ou igual a
”. Como
só pode assumir valores inteiros de 0 até
, a única forma de
acontecer é se
for 0, ou 1, ou 2, …, até exatamente
.
Passo 4
Quando a gente quer a probabilidade de “uma união de casos mutuamente exclusivos” (tipo “
OU
OU … OU
”), a regra é somar as probabilidades de cada caso. Logo: