Mostre que a função de distribuição cumulativa para uma variável aleatória X que segue uma distribuição binomial B(n, p) pode ser obtida pela soma das probabilidades individuais P(X=k) para k variando de 0 a x.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma variável aleatória sumk=0^x P(X=k) que segue uma Binomial . A pergunta é: “mostra que a função de distribuição acumulada (CDF) é simplesmente
Conteúdo: distribuição binomial, PMF e definição de CDF. Pra resolver a gente vai precisar (1) da fórmula da probabilidade de cada valor em uma binomial e (2) da definição de função acumulada.

Passo 2

Primeiro, lembra a PMF (função massa de probabilidade) da Binomial:
P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k,
onde . Essa expressão dá a chance de obter exatamente sucessos em tentativas independentes, cada uma com probabilidade .

Passo 3

Agora, o que é a função de distribuição acumulada? Por definição,
F(x)=P(X<= x)
Isto é “a probabilidade de que seja menor ou igual a ”. Como só pode assumir valores inteiros de 0 até , a única forma de acontecer é se for 0, ou 1, ou 2, …, até exatamente .

Passo 4

Quando a gente quer a probabilidade de “uma união de casos mutuamente exclusivos” (tipo “ P(X<= x) = P(X=0) + P(X=1) + cdots + P(X=x) = sumk=0^x P(X=k) OU OU … OU ”), a regra é somar as probabilidades de cada caso. Logo:

Resposta

boxedF(x)=P(X<= x)=sumk=0^xbinomnk,p^k,(1-p)^,n-k

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