Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas pretas. Se 4 bolas são selecionadas com reposição, qual é a probabilidade de se obter exatamente 2 bolas vermelhas?

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede: a gente tem uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 pretas (total de 5 bolas) e vai tirar 4 vezes, sempre fazendo reposição (ou seja, a composição da urna não muda). A pergunta é: qual a probabilidade de sair exatamente 2 bolas vermelhas em 4 tentativas?
Conteúdo: distribuição binomial (porque são tentativas independentes, cada uma com “sucesso” = tirar bola vermelha com probabilidade , e queremos exatamente sucessos em tentativas).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da binomial:
  • Número de tentativas p = número de bolas vermelhastotal de bolas ;=; 35 .
  • “Sucesso” = tirar bola vermelha. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
ú
  • Probabilidade de não sucesso (bola preta) é .
  • Queremos exatamente sucessos.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial para exatamente P(X = k) ;=; binomnk,p^k,q^,n-k, sucessos em tentativas é:
onde (coeficiente binomial) conta de quantas formas a gente pode escolher quais tentativas deram sucesso.

Passo 4

Substituindo P(X=2) ;=; binom42,l(tfrac35r)^2,l(tfrac25r)^2 , P(X=2) = 6 times 925 times 425 = 6 times 36625 = 216625 , e :
  1. Calcular o coeficiente:
  2. Calcular as potências:
  3. Montar tudo:

Passo 5

Se você quiser em decimal, basta dividir:
216625 = 0,3456

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 2 bolas vermelhas em 4 sorteios com reposição é
boxed216625approx 0,3456

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