Mostre que a função exponencial f(x)=e^{x} é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=e^{x}
é derivável em x=0.
Isso significa verificar que o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe e calcular esse valor.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em x=0:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{e^{0+h}-e^{0}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}
podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor de e^{h} em torno de h=0:
e^{h}=1 + h + \frac{h^{2}}{2!} + \frac{h^{3}}{3!} + \cdots.
Substituindo na fração, temos
\frac{e^{h}-1}{h} =\frac{\bigl(1 + h + \tfrac{h^{2}}{2!} + \cdots\bigr)-1}{h} =1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^{2}}{3!} + \cdots.
Quando h\to0, todos os termos que contêm h tendem a zero, restando
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.

Passo 4

Como o limite existe e vale 1, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=1.

Resposta

A função f(x)=e^{x} é derivável em x=0 e f'(0)=1.

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