Mostre que a função exponencial
é derivável em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é derivável em
.
Isso significa verificar que o limite
Isso significa verificar que o limite
existe e calcular esse valor.
Passo 2
Aplicamos a definição de derivada em
:
Passo 3
Para calcular
podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor de em torno de
:
podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor de
Substituindo na fração, temos
Quando
, todos os termos que contêm
tendem a zero, restando
Passo 4
Como o limite existe e vale
, concluímos que
é derivável em
e
Resposta
A função
é derivável em
e
.