Mostre que a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \cdot \sin x, \text { se } x \neq 0 ; \\\\ 0, \text { se } x=0 .\end{array}\right. não é derivável em x=0. Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} x\,\sin x, & x\neq 0,\\\\ 0,& x=0 \end{cases} e pede para mostrar que f não é derivável em x=0. O conteúdo aqui é o conceito de derivada no ponto, dada pelo limite do quociente de diferença. Passo 2Usamos a definição de derivada em x=0: f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h\sin h-0}{h} =\lim_{h\to 0}\sin h. Passo 3Como \lim_{h\to 0}\sin h=0 existe e é finito, concluímos que f'(0)=0, ou seja, f é derivável em x=0. RespostaA afirmação de que f “não é derivável em x=0” está incorreta. Na verdade, f'(0)=0, logo f é derivável em x=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosMostre que a função exponencial f(x)=e^{x} é derivável em x=0. Mostre que a função f(x)=x^{2}-3 x+2 é derivável em x=2. Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por: f(x)=x^{5} \cdot \ln x Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por: f(x)=\frac{x^{3}}{e^{x}}