Mostre que a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \cdot \sin x, \text { se } x \neq 0 ; \\\\ 0, \text { se } x=0 .\end{array}\right. não é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} x\,\sin x, & x\neq 0,\\\\ 0,& x=0 \end{cases}
e pede para mostrar que f não é derivável em x=0.
O conteúdo aqui é o conceito de derivada no ponto, dada pelo limite do quociente de diferença.

Passo 2

Usamos a definição de derivada em x=0:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h\sin h-0}{h} =\lim_{h\to 0}\sin h.

Passo 3

Como \lim_{h\to 0}\sin h=0 existe e é finito, concluímos que
f'(0)=0,
ou seja, f é derivável em x=0.

Resposta

A afirmação de que f “não é derivável em x=0” está incorreta. Na verdade,
f'(0)=0,
logo f é derivável em x=0.

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