Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por:
f(x)=x^{5} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede f'(2) para a função
f(x)=x^{5}\ln x.
O conteúdo é derivada de produto de funções e derivada de \ln x.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=x^5 e v(x)=\ln x. Temos
u'(x)=5x^4,\quad v'(x)=\frac1x,
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f'(x)=5x^4\ln x + x^5\cdot\frac1x = 5x^4\ln x + x^4.

Passo 3

Basta agora avaliar em x=2:
f'(2)=5\cdot2^4\ln2 + 2^4 = 5\cdot16\ln2 +16 = 80\ln2 + 16 = 16\bigl(5\ln2+1\bigr).

Resposta

f'(2)=16\bigl(5\ln2+1\bigr)

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