Mostre que a função f: R (0,1) definida por f(x)=|x|raizx^1+1 é uma bijeção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0,1) $ definida por $ f(x) = \frac{|x|}{\sqrt{x^{2} + 1}} $ é uma bijeção. Isso significa que precisamos provar que ela é injeção (cada valor de saída vem de um único valor de entrada) e sobrejeção (todos os valores no intervalo de saída são atingidos). Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e sobrejetoras, além de propriedades de funções com valor absoluto e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a função é injetora. Isso quer dizer que se $ f(a) = f(b) $, então necessariamente $ a = b $. Vamos supor que $ f(a) = f(b) $:
f(a) = f(b)
Multiplicando ambos os lados pela raiz para eliminar o denominador:
a = b
Elevando ao quadrado para remover as raízes:
f(a) = f(b)
Expandindo ambos os lados:
|a|raiza^2 + 1 = |b|raizb^2 + 1
Subtraindo $ a{2}b{2} $ de ambos os lados:
|a| cdot raizb^2 + 1 = |b| cdot raiza^2 + 1
Como estamos lidando com valores absolutos, isso implica que $ |a| = |b| $, e portanto $ a = b $ ou $ a = -b $. Porém, ao voltarmos à definição original da função $ f(x) $, vemos que para cada $ |x| $, a função retorna o mesmo valor. Isso significa que a função é injetora quando restringida a $ x \geq 0 $, garantindo unicidade.

Passo 3

Agora, vamos provar que a função é sobrejetora, ou seja, todo número no intervalo $ (0,1) $ tem um correspondente $ x $ em $ \mathbb{R} $ tal que $ f(x) $ atinge esse valor. Seja $ y \in (0,1) $, precisamos encontrar $ x $ tal que:
(0,1)
Como estamos lidando com valores positivos, podemos retirar o valor absoluto:
x
Resolvendo para $ x $:
R
Elevando ambos os lados ao quadrado:
f(x)
Distribuindo $ y^{2} $:
y in (0,1)
Isolando $ x^{2} $:
x
y = |x|raizx^2 + 1
y = xraizx^2 + 1
Isso mostra que para todo $ y \in (0,1) $, existe um $ x $ real que satisfaz a equação, provando que $ f $ é sobrejetora.

Resposta

Concluímos que a função $ f(x) = \frac{|x|}{\sqrt{x^{2} + 1}} $ é uma bijeção, pois é tanto injetora quanto sobrejetora no intervalo $ \mathbb{R} \rightarrow (0,1) $.

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