Seja
definida por
.
a) Determine
e Imf.
b) Verifique que
é injetiva.
c) Calcule
e determine
.
a) Determine
b) Verifique que
c) Calcule
Passo 1
A função em questão é f(x)=\frac{2x}{x-1}. Vamos trabalhar com domínio, imagem, injetividade e inversa de uma função racional bastante típica.
Passo 2
Para achar o domínio, basta lembrar que não podemos dividir por zero. O denominador é x–1, então precisamos de x–1≠0. Logo o domínio é
.
Passo 3
Para achar a imagem, considere um valor genérico y e resolva
faça y(x–1)=2x
adapte para isolar x
Essa fórmula dá um x real para todo y, exceto quando o denominador y–2=0 (ou seja, y=2). Portanto a imagem é
Passo 4
Para verificar a injetividade, tome f(a)=f(b):
Multiplique cruzado:
Expanda e cancele:
Isso mostra que f não pode mandar dois valores distintos ao mesmo y, logo é injetiva.
Passo 5
Para obter a inversa, troque x por y e y por x em y=2x/(x–1) e resolva para y:
Então a inversa é f^{-1}(x)=x/(x–2). Para que isso faça sentido, precisamos de x–2≠0, ou seja, x≠2. Portanto o domínio de f^{-1} é
Resposta
a) D(f)=\mathbb{R}\setminus{1}, Im(f)=\mathbb{R}\setminus{2} b) f é injetiva c) f^{-1}(x)=\frac{x}{x-2}, D(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus{2}