Seja f definida por f(x):=2 xx-1.
a) Determine D(f) e Imf.
b) Verifique que f é injetiva.
c) Calcule f^-1 e determine .

Passo 1

A função em questão é f(x)=\frac{2x}{x-1}. Vamos trabalhar com domínio, imagem, injetividade e inversa de uma função racional bastante típica.

Passo 2

Para achar o domínio, basta lembrar que não podemos dividir por zero. O denominador é x–1, então precisamos de x–1≠0. Logo o domínio é Rsetminus1.

Passo 3

Para achar a imagem, considere um valor genérico y e resolva
y=2xx-1
faça y(x–1)=2x
yx - y = 2x
adapte para isolar x
yx - 2x = y
x(y-2)=y
x=yy-2
Essa fórmula dá um x real para todo y, exceto quando o denominador y–2=0 (ou seja, y=2). Portanto a imagem é Rsetminus2.

Passo 4

Para verificar a injetividade, tome f(a)=f(b):
2aa-1=2bb-1
Multiplique cruzado:
2a(b-1)=2b(a-1)
Expanda e cancele:
2ab - 2a = 2ab - 2b
-2a = -2b
a=b
Isso mostra que f não pode mandar dois valores distintos ao mesmo y, logo é injetiva.

Passo 5

Para obter a inversa, troque x por y e y por x em y=2x/(x–1) e resolva para y:
x=2yy-1
x(y-1)=2y
xy - x=2y
xy - 2y=x
y(x-2)=x
y=xx-2
Então a inversa é f^{-1}(x)=x/(x–2). Para que isso faça sentido, precisamos de x–2≠0, ou seja, x≠2. Portanto o domínio de f^{-1} é Rsetminus2.

Resposta

a) D(f)=\mathbb{R}\setminus{1}, Im(f)=\mathbb{R}\setminus{2} b) f é injetiva c) f^{-1}(x)=\frac{x}{x-2}, D(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus{2}

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