Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular seu valor. O conteúdo envolvido é convergência de integrais impróprias e técnicas de cálculo (como transformada de Laplace ou integração por partes).
Passo 2
Para testar a convergência, note que
é monotonicamente decrescente para
e tende a zero quando
, e
é limitada e tem primitiva acotada. Pelo teste de Dirichlet para integrais impróprias, a integral converge. Alternativamente,\n
e
, o que garante convergência absoluta.
Passo 3
Para calcular
, podemos usar a transformada de Laplace ou reconhecimento de parte imaginária: consideremos\n
Escrevendo
, a parte imaginária é
. Como
corresponde à parte imaginária de
, temos\n
Resposta
A integral converge e seu valor é
.