Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^+infty e^-x sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria integral0^+inftye^-xsin x,dx converge ou diverge, e em caso de convergência calcular seu valor. O conteúdo envolvido é convergência de integrais impróprias e técnicas de cálculo (como transformada de Laplace ou integração por partes).

Passo 2

Para testar a convergência, note que e^-x é monotonicamente decrescente para x>=0 e tende a zero quando xto+infty, e sin x é limitada e tem primitiva acotada. Pelo teste de Dirichlet para integrais impróprias, a integral converge. Alternativamente,\n |e^-xsin x|<= e^-x, e integral0^+inftye^-xdx=1, o que garante convergência absoluta.

Passo 3

Para calcular I=integral0^+inftye^-xsin x,dx, podemos usar a transformada de Laplace ou reconhecimento de parte imaginária: consideremos\n integral0^+inftye^-xe^ix,dx=integral0^+inftye^-(1-i)x,dx=11-iEscrevendo 1/(1-i)=(1+i)/2, a parte imaginária é 1/2. Como sin x corresponde à parte imaginária de e^ix, temos\n I=Iml(tfrac11-ir)=12

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac12.

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