Mostre que a função f: R longrightarrow R, definida por
f(x)= 1x sen x, & se x neq 0 0, & se x=0
é contínua.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= dfracsin xx,&xneq0,[6pt] 0,&x=0,
e pede para mostrar que f é contínua em R. Como de praxe em continuidade, vamos verificar dois casos: xneq0 e x=0.]

Passo 2

Para qualquer aneq0, a função xmapstodfracsin xx é composição de funções trigonométricas e divisão por uma constante diferente de zero, todas contínuas no entorno de a. Logo
limxto af(x) = limxto asin xx =sin aa =f(a),
e f é contínua em todo aneq0.

Passo 3

Em x=0, precisamos calcular
limxto0f(x) = limxto0sin xx
É o limite clássico que vale 1. Por exemplo, usando regra de L’Hôpital:
limxto0sin xx ;oversetLH=; limxto0cos x1 =1

Passo 4

Como limxto0f(x)=1 e f(0)=0, esses valores não coincidem. Portanto
limxto0f(x)neq f(0),
ou seja, f não é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo xneq0, mas é descontínua em x=0 (pois limxto0f(x)=1neq f(0)=0). Portanto, ao contrário do enunciado, f não é contínua em R.

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