e pede para mostrar que f é contínua em R. Como de praxe em continuidade, vamos verificar dois casos: xneq0 e x=0.]
Passo 2
Para qualquer aneq0, a função xmapstodfracsin xx é composição de funções trigonométricas e divisão por uma constante diferente de zero, todas contínuas no entorno de a. Logo
limxto af(x) = limxto asin xx =sin aa =f(a),
e f é contínua em todo aneq0.
Passo 3
Em x=0, precisamos calcular
limxto0f(x) = limxto0sin xx
É o limite clássico que vale 1. Por exemplo, usando regra de L’Hôpital:
limxto0sin xx ;oversetLH=; limxto0cos x1 =1
Passo 4
Como limxto0f(x)=1 e f(0)=0, esses valores não coincidem. Portanto
limxto0f(x)neq f(0),
ou seja, fnão é contínua em x=0.
Resposta
A função f é contínua em todo xneq0, mas é descontínua em x=0 (pois limxto0f(x)=1neq f(0)=0). Portanto, ao contrário do enunciado, fnão é contínua em R.