Mostre que existem funçães
tais que
seja contínua,
não seja contínua (digamos em
), mas
seja contínua.
Passo 1
O problema pede para exibirmos duas funções
tais que
-
seja contínua em todo , -
seja descontínua em , - mas a composição
seja contínua em .
Para isso vamos construir umaque “salte” em e um que anule esse salto, tornando constante.
Passo 2
Definimos
Essa é a função sinalizada em dois valores. Note que
,
,
logo as duas laterais não coincidem, o que mostra que
é descontínua em
.
Passo 3
Agora escolhemos
Como polinômio em ,
é contínua em todo
.
Como polinômio em
Passo 4
Vamos ver a composição: para todo
,
Mas
vale sempre
ou
, então
para todo
. Assim
, que é uma função constante e, portanto, contínua em
(na verdade em todo
).
Resposta
Escolhendo
temos
f descontínua em
0 ,
g contínua em todo
R e
gcirc fequiv1 contínua.