Mostre que existem funçães f, g: R longrightarrow R tais que g seja contínua, f não seja contínua (digamos em a=0 ), mas g circ f seja contínua.

Passo 1

O problema pede para exibirmos duas funções f,g:RtoR tais que
  1. g seja contínua em todo R,
  2. f seja descontínua em a=0,
  3. mas a composição gcirc f seja contínua em 0.
    Para isso vamos construir uma f que “salte” em 0 e um g que anule esse salto, tornando gcirc f constante.

Passo 2

Definimos
Essa é a função sinalizada em dois valores. Note que
,
logo as duas laterais não coincidem, o que mostra que é descontínua em .

Passo 3

Agora escolhemos
g(y)=y^2
Como polinômio em y, g é contínua em todo R.

Passo 4

Vamos ver a composição: para todo xinR,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=l(f(x)r)^2
Mas f(x) vale sempre 1 ou -1, então
l(f(x)r)^2=1
para todo x. Assim gcirc fequiv1, que é uma função constante e, portanto, contínua em 0 (na verdade em todo R).

Resposta

Escolhendo
f(x)= 1,&x>=0, -1,&x<0, g(y)=y^2,
temos f descontínua em 0, g contínua em todo R e gcirc fequiv1 contínua.

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