Mostre que a função
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem exatamente uma raiz real. O conteúdo aqui é estudo de polinômio de grau ímpar, monotonicidade via derivada e existência de raíz pelo Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Cada potência de
neste somatório é um expoente par, logo
para todo
. Assim
o que significa que
é estritamente crescente em todo o domínio real.
Passo 3
Como
é estritamente crescente, ela pode ter no máximo uma raiz real. Para garantir que ela tenha pelo menos uma, usamos sinais em pontos convenientes.
Passo 4
Calculamos
e
Como
é contínua (é polinômio) e muda de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz real.