Mostre que a função f(x)=1+x+x^11+x^21+x^31+x^41 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=1 + x + x^11 + x^21 + x^31 + x^41
tem exatamente uma raiz real. O conteúdo aqui é estudo de polinômio de grau ímpar, monotonicidade via derivada e existência de raíz pelo Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = ddxl(1 + x + x^11 + x^21 + x^31 + x^41r) = 1 + 11,x^10 + 21,x^20 + 31,x^30 + 41,x^40
Cada potência de x neste somatório é um expoente par, logo x^10,x^20,x^30,x^40>=0 para todo x. Assim
f'(x)>= 1>0forall xinR,
o que significa que f é estritamente crescente em todo o domínio real.

Passo 3

Como f é estritamente crescente, ela pode ter no máximo uma raiz real. Para garantir que ela tenha pelo menos uma, usamos sinais em pontos convenientes.

Passo 4

Calculamos
f(-1)=1+(-1)+(-1)^11+(-1)^21+(-1)^31+(-1)^41 =1-1-1-1-1-1=-4<0,
e
f(0)=1+0+0+0+0+0=1>0
Como f é contínua (é polinômio) e muda de sinal entre x=-1 e x=0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (-1,0).

Resposta

A função f tem exatamente uma raiz real.

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