Mostre que a função f(x)=4+sin (x)x^2+2 x+5 é contínua em 0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=4+sin(x)x^2+2x+5 é contínua em x=0. O conteúdo principal é continuidade de funções e vamos usar as propriedades de continuidade de funções elementares (seno, polinômios) e de quociente.

Passo 2

Como primeiro passo concreto, calculamos o valor de f em x=0:
f(0)=4+sin(0)0^2+2cdot0+5=4+05=45

Passo 3

Em seguida, usamos que tanto sin(x) quanto o polinômio x^2+2x+5 são contínuos em 0. Logo, as suas extremidades tendem a:
limxto0(4+sin(x))=4+0=4,
limxto0(x^2+2x+5)=0+0+5=5
Como o denominador não zera, podemos passar o limite pelo quociente e obter:
limxto0f(x)=limxto0(4+sin(x))limxto0(x^2+2x+5)=45

Passo 4

Como o limite limxto0f(x)=4/5 coincide com f(0)=4/5, concluímos que f é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0, pois f(0)=4/5 e limxto0f(x)=4/5.

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