(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
onde
, chamadas Séries Alternadas, basta que
e que
para todo
.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
O conteúdo principal é o teste de Leibniz, que exige que os termos positivos
sejam decrescentes e que
.
Passo 2
Definimos
Calculamos o limite
pois a potência de
no denominador cresce sem limite.
Passo 3
Para mostrar que
é decrescente, considere a função contínua
Derivando,
para todo
. Assim,
.
Passo 4
Como
,
e
para todo
, pelos critérios do teste de Leibniz a série converge.
Resposta
A série converge pelo teste de Leibniz.