(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
sumn=1^+infty(-1)^n+1 an
onde an >= 0, chamadas Séries Alternadas, basta que an 0 e que
an+1 <= an
para todo n.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
sumn=1^+infty (-1)^n+1n raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
sumn=1^+infty (-1)^n+1nraizn
O conteúdo principal é o teste de Leibniz, que exige que os termos positivos an sejam decrescentes e que an to 0.

Passo 2

Definimos
an = 1nraizn = n^-3/2
Calculamos o limite
limntoinfty an = limntoinfty n^-3/2 = 0,
pois a potência de n no denominador cresce sem limite.

Passo 3

Para mostrar que an é decrescente, considere a função contínua
f(x) = x^-3/2, x>0
Derivando,
f'(x) = -tfrac32x^-5/2 < 0
para todo x>0. Assim, an+1 = f(n+1) <= f(n) = an.

Passo 4

Como an>=0, anto0 e an+1<= an para todo n, pelos critérios do teste de Leibniz a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste de Leibniz.

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