Determine o domínio de analiticidade da função
e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
onde a curva fechada simples
é a circunferência
Passo 1
O enunciado pede o domínio de analiticidade de
e, em seguida, o valor do integral
, onde
é o círculo
. O conteúdo envolve teoria de funções analíticas e o Teorema de Cauchy–Goursat.
Passo 2
Para achar o domínio de analiticidade de
, lembramos que
. Então
é analítica em todo
menos nos pontos em que
. Esses pontos são dadas por
Logo, o domínio de analiticidade é
Passo 3
Agora, para aplicar Cauchy–Goursat, verificamos as singularidades de
contidas no interior de
. O círculo
envolve todos os pontos com módulo menor que 1. As singuralidades de
mais próximas da origem são em
, cujo módulo é aproximadamente 1.57, maior que 1. Portanto, não há singularidades de
dentro de
.
Passo 4
Como
é analítica em um domínio que contém o interior de
e
é uma curva fechada simples, pelo Teorema de Cauchy–Goursat temos
Resposta
0