Determine o domínio de analiticidade da função f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
integralgamma f(z) d z
onde a curva fechada simples gamma é a circunferência |z|=1 e
f(z)=tg z

Passo 1

O enunciado pede o domínio de analiticidade de f(z)=tan z e, em seguida, o valor do integral integralgammaf(z),dz, onde gamma é o círculo |z|=1. O conteúdo envolve teoria de funções analíticas e o Teorema de Cauchy–Goursat.

Passo 2

Para achar o domínio de analiticidade de f(z)=tan z, lembramos que tan z=dfracsin zcos z. Então f é analítica em todo C menos nos pontos em que cos z=0. Esses pontos são dadas por
cos z=0 Longrightarrow z=pi2+kpi, kinZ
Logo, o domínio de analiticidade é
Csetminusltfracpi2+kpi:,kinZr

Passo 3

Agora, para aplicar Cauchy–Goursat, verificamos as singularidades de f contidas no interior de gamma. O círculo |z|=1 envolve todos os pontos com módulo menor que 1. As singuralidades de tan z mais próximas da origem são em z=pmtfracpi2, cujo módulo é aproximadamente 1.57, maior que 1. Portanto, não há singularidades de f dentro de |z|<1.

Passo 4

Como f é analítica em um domínio que contém o interior de gamma e gamma é uma curva fechada simples, pelo Teorema de Cauchy–Goursat temos
integralgammaf(z),dz=0

Resposta

0

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