Mostre que se uma função f(x) tem os coeficientes de Fourier an e bn e g(x) tem os coeficientes cn e dn, então k f(x)+m g(x) tem os coeficientes (k an+m cn) e (k bn+m dn).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a operação de combinação linear de duas funções preserva a forma de seus coeficientes de Fourier. O conteúdo é Série de Fourier e vamos precisar usar a definição de coeficientes e a linearidade da integral para chegar ao resultado.

Passo 2

Sejam as definições dos coeficientes de Fourier de uma função genérica h(x) no intervalo [−L,L]:
A componente cosseno é dada por
an^h=1Lintegral-L^Lh(x)cosnpi xL,dx
E a componente seno é
bn^h=1Lintegral-L^Lh(x)sinnpi xL,dx

Passo 3

Considere agora h(x)=k,f(x)+m,g(x). Vamos calcular o coeficiente cosseno de h:
an^h=1Lintegral-L^Ll(kf(x)+mg(x)r)cosnpi xL,dx
Pela linearidade da integral, isso se separa em:
an^h=kLintegral-L^Lf(x)cosnpi xL,dx+mLintegral-L^Lg(x)cosnpi xL,dx
Reconhecendo as definições, temos
an^h=k,an+m,cn

Passo 4

Fazendo o mesmo para a componente seno de h(x):
bn^h=1Lintegral-L^Ll(kf(x)+mg(x)r)sinnpi xL,dx
pela linearidade,
bn^h=k,bn+m,dn

Passo 5

Portanto, a combinação linear h(x)=k,f(x)+m,g(x) tem coeficientes de Fourier dados por k,a_n+m,c_n para a parte cosseno e k,b_n+m,d_n para a parte seno.

Resposta

Os coeficientes de Fourier de k,f(x)+m,g(x) são k,a_{n}+m,c_{n} e k,b_{n}+m,d_{n}.

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