Mostre que se uma função
tem os coeficientes de Fourier
e
e
tem os coeficientes
e
, então
tem os coeficientes
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a operação de combinação linear de duas funções preserva a forma de seus coeficientes de Fourier. O conteúdo é Série de Fourier e vamos precisar usar a definição de coeficientes e a linearidade da integral para chegar ao resultado.
Passo 2
Sejam as definições dos coeficientes de Fourier de uma função genérica h(x) no intervalo [−L,L]:
A componente cosseno é dada por
E a componente seno é
Passo 3
Considere agora h(x)=k,f(x)+m,g(x). Vamos calcular o coeficiente cosseno de h:
Pela linearidade da integral, isso se separa em:
Reconhecendo as definições, temos
Passo 4
Fazendo o mesmo para a componente seno de h(x):
pela linearidade,
Passo 5
Portanto, a combinação linear h(x)=k,f(x)+m,g(x) tem coeficientes de Fourier dados por k,a_n+m,c_n para a parte cosseno e k,b_n+m,d_n para a parte seno.
Resposta
Os coeficientes de Fourier de k,f(x)+m,g(x) são k,a_{n}+m,c_{n} e k,b_{n}+m,d_{n}.