Sobre o polinômio de coeficientes reais
P(z)=z^3-4 z^2+b z-4
sabe-se:
i) b é uma constante real
ii) 2 e 1-i são raízes deste polinômio.
Nessas condições é correto afirmar que a soma z1 z2+z1 z3+z2 z3 vale:
a) 0
b) -1
c) -4
d) -6
e) Nenhuma das alternativas anteriores apresenta a resposta correta.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um polinômio de grau 3 com coeficientes reais:
P(z) = z^3 - 4 z^2 + b z - 4
Sabemos que 2 e são raízes desse polinômio. Para resolver isso, vamos usar as Fórmulas de Vieta, que relacionam os coeficientes do polinômio com as suas raízes.

Passo 2

Primeiro, como os coeficientes do polinômio são reais e uma das raízes é , a outra raiz complexa deve ser o conjugado disso, ou seja, . Então, já temos duas raízes: 2 e , e .

Passo 3

Agora, identificamos todas as três raízes do polinômio:

Passo 4

Vamos aplicar as Fórmulas de Vieta para polinômios de terceiro grau. Sabemos que:
  • A soma das raízes (coeficiente de com sinal trocado).
  • A soma dos produtos das raízes dois a dois .
Nosso objetivo é encontrar o valor de , que é igual a .

Passo 5

Vamos calcular z1 z2 &= 2 times (1 - i) = 2 - 2i z1 z3 &= 2 times (1 + i) = 2 + 2i z2 z3 &= (1 - i)(1 + i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - (-1) = 2 usando as raízes que temos:
z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 = (2 - 2i) + (2 + 2i) + 2 = 6
Agora, somando tudo:

Passo 6

A soma dos produtos das raízes dois a dois é igual a 6, ou seja, .

Resposta

A soma vale Nenhuma das alternativas anteriores apresenta a resposta correta.

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