Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
a) Z=raiz4-x^2-y^2+ln (x^2-2 x y+y^2-4)
b) Z=ln (x(raizx-y))
c) Z=arcsen(x-y)+arccos (y-2 x)
d) Z=ln (raiz(x+y-1)(x-y^2))
e) Z=raizy^2-x+log (x^2+y^2-1)
f) Z=ln (x-y)+arcsen|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o domínio de cada função e dizer se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções de várias variáveis, mais especificamente sobre domínio das funções e propriedades de conjuntos no plano. Para resolver, vamos identificar onde cada expressão dentro das funções está definida e depois analisar as propriedades do domínio encontrado.

Passo 2

a) $ Z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} + \ln \left(x^{2} - 2xy + y^{2} - 4\right) $
Primeiro, vamos encontrar o domínio dessa função. Temos duas partes que impõem restrições:
  1. Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.
    Z = raiz4 - x^2 - y^2 + ln (x^2 - 2xy + y^2 - 4)
    Isso representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
  2. Logaritmo natural: O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
    4 - x^2 - y^2 >= 0 implies x^2 + y^2 <= 4
    Simplificando a expressão:
    x^2 - 2xy + y^2 - 4 > 0
    Então:
    x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
    Isso significa que a distância entre $ x $ e $ y $ deve ser maior que 2.
Agora, o domínio da função é a interseção dessas duas condições.

Passo 3

Vamos visualizar isso:
  1. $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $: Um círculo fechado de raio 2.
  2. $ |x - y| > 2 $: Duas regiões fora das linhas $ x - y = 2 $ e $ x - y = -2 $.
A interseção dessas regiões significa que estamos pegando os pontos dentro do círculo onde $ |x - y| > 2 $.

Passo 4

Agora, vamos analisar as propriedades do domínio:
  • Aberto ou Fechado: O domínio inclui os limites da desigualdade $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $, mas exclui os pontos onde $ |x - y| = 2 $. Portanto, o domínio é semi-aberto.
  • Limitado: Como está contido dentro de um círculo de raio 2, o domínio é limitado.
  • Conexo: O domínio está dividido em duas partes devido à condição $ |x - y| > 2 $, ou seja, não é possível ir de uma parte à outra sem sair do domínio. Portanto, o domínio é desconexo.

Passo 5

b) $ Z = \ln \left(x(\sqrt{x} - y)\right) $
Vamos determinar o domínio dessa função. Temos um logaritmo cujo argumento precisa ser maior que zero:
Z = ln (x(raizx - y))
Além disso, dentro da raiz quadrada, $ x $ deve ser não negativo:
x(raizx - y) > 0

Passo 6

Vamos analisar a desigualdade:
x(raizx - y) > 0
Considerando $ x \geq 0 $:
  1. Se $ x > 0 $, então $ \sqrt{x} - y > 0 \implies y < \sqrt{x} $.
  2. Se $ x = 0 $, a expressão se anula, mas como é estritamente maior que zero, $ x = 0 $ não faz parte do domínio.
Portanto, o domínio é:
x >= 0

Passo 7

Visualizando isso no plano:
  • $ x > 0 $: Região à direita do eixo $ y $.
  • $ y < \sqrt{x} $: Região abaixo da curva $ y = \sqrt{x} $.
A interseção dessas regiões define o domínio.

Passo 8

Analisando as propriedades:
  • Aberto ou Fechado: O domínio não inclui a fronteira $ y = \sqrt{x} $ nem $ x = 0 $, portanto, é aberto.
  • Limitado: Não há limites superiores para $ x $ e $ y $ é limitada por $ \sqrt{x} $, mas como $ x $ pode crescer sem limite, o domínio é ilimitado.
  • Conexo: É uma única região contínua, então é conexo.

Passo 9

c) $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $
Vamos encontrar o domínio. As funções $ \arcsen $ e $ \arccos $ impõem restrições nos seus argumentos:
Z = arcsen(x - y) + arccos(y - 2x)
arcsen

Passo 10

Vamos escrever essas desigualdades:
  1. Para $ \arcsen(x - y) $:
    arcsen(x - y)
  2. Para $ \arccos(y - 2x) $:
    -1 <= x - y <= 1 implies y - 1 <= x <= y + 1

Passo 11

Agora, o domínio é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente ambas as condições:
y - 1 <= x <= y + 1 e 2x - 1 <= y <= 2x + 1
Isso define uma região no plano onde essas faixas se sobrepõem.

Passo 12

Analisando as propriedades:
  • Aberto ou Fechado: As desigualdades são inclusivas ( <=), então o domínio inclui as fronteiras, sendo fechado.
  • Limitado: As restrições criam um intervalo limitado para $ x $ e $ y $, então o domínio é limitado.
  • Conexo: É uma única região contínua onde as condições se sobrepõem, então é conexo.

Passo 13

d) $ Z = \ln \left(\sqrt{(x + y - 1)(x - y^{2})}\right) $
Vamos determinar o domínio. Primeiro, o argumento do logaritmo deve ser maior que zero:
Z = ln (raiz(x + y - 1)(x - y^2))
Isso implica que:
  1. Dentro da raiz: Deve ser não negativo.
    raiz(x + y - 1)(x - y^2) > 0
  2. Radiciação: O conteúdo dentro da raiz deve ser maior que zero para que a expressão seja real.
    (x + y - 1)(x - y^2) > 0

Passo 14

Vamos analisar a desigualdade:
(x + y - 1)(x - y^2) > 0
Isso acontece quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.
  1. Ambos positivos:
    x + y - 1 > 0 e x - y^2 > 0
  2. Ambos negativos:
    x + y - 1 < 0 e x - y^2 < 0

Passo 15

Visualizando no plano:
  1. $ x + y - 1 > 0 $: Região acima da reta $ y = -x + 1 $.
  2. $ x - y^{2} > 0 $: Região à direita da parábola $ y^{2} = x $.
E similarmente para as condições negativas.

Passo 16

Propriedades do domínio:
  • Aberto ou Fechado: As desigualdades são estritas ($ > 0 $ e $ < 0 $), então o domínio não inclui as fronteiras, sendo aberto.
  • Limitado: Não há restrições superiores para $ x $ e $ y $, então o domínio é ilimitado.
  • Conexo: O domínio pode estar dividido em duas partes (onde ambos os fatores são positivos ou negativos), portanto, é desconexo.

Passo 17

e) $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log \left(x^{2} + y^{2} - 1\right) $
Vamos encontrar o domínio dessa função. Temos duas partes que impõem restrições:
  1. Radiciação: O conteúdo dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.
    Z = raizy^2 - x + log (x^2 + y^2 - 1)
  2. Logaritmo: O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
    y^2 - x >= 0 implies x <= y^2

Passo 18

Vamos interpretar essas condições:
  1. $ x \leq y^{2} $: Região à esquerda ou sobre a parábola $ y^{2} = x $.
  2. $ x^{2} + y^{2} > 1 $: Região fora do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 19

O domínio é a interseção dessas duas regiões: pontos que estão à esquerda da parábola e também fora do círculo.

Passo 20

Propriedades do domínio:
  • Aberto ou Fechado: Inclui a fronteira da parábola $ x = y^{2} $ porque $ \geq $, mas exclui a fronteira do círculo porque $ > $. Portanto, o domínio é semi-aberto.
  • Limitado: Não há limites superiores para $ y $, então o domínio é ilimitado.
  • Conexo: A região formada pode estar em uma única peça contínua, então é conexo.

Passo 21

f) $ Z = \ln (x - y) + \arcsen |x| $
Vamos determinar o domínio dessa função. Temos duas partes com restrições:
  1. Logaritmo natural: O argumento deve ser maior que zero.
    Z = ln (x - y) + arcsen |x|
  2. $ \arcsen $: O argumento deve estar entre -1 e 1.
    x - y > 0 implies y < x

Passo 22

Resumindo as condições:
y < x e -1 <= x <= 1
Isso define uma região no plano onde $ y $ está abaixo da linha $ y = x $ e $ x $ está entre -1 e 1.

Passo 23

Visualizando:
  • $ -1 \leq x \leq 1 $: Intervalo horizontal entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
  • $ y < x $: Região abaixo da reta diagonal $ y = x $.
A interseção dessas condições forma uma faixa triangular.

Passo 24

Analisando as propriedades:
  • Aberto ou Fechado: A condição $ y < x $ é estrita, então a fronteira $ y = x $ não está incluída. Já $ x $ pode ser igual a -1 ou 1. Portanto, o domínio é semi-aberto.
  • Limitado: $ x $ está entre -1 e 1, e $ y $ é limitado por $ y < x $. Logo, o domínio é limitado.
  • Conexo: É uma única região contínua, então é conexo.

Resposta

Para a função f) $ Z = \ln (x - y) + \arcsen |x| $:
  • Domínio: Conjunto de pontos Z = ln (x - y) + arcsen |x| tais que $ y < x $ e $ -1 \leq x \leq 1 $.
  • Propriedades do Domínio: É semi-aberto, limitado e conexo.

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