Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o domínio de cada função e dizer se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções de várias variáveis, mais especificamente sobre domínio das funções e propriedades de conjuntos no plano. Para resolver, vamos identificar onde cada expressão dentro das funções está definida e depois analisar as propriedades do domínio encontrado.
Passo 2
a) $ Z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} + \ln \left(x^{2} - 2xy + y^{2} - 4\right) $
Primeiro, vamos encontrar o domínio dessa função. Temos duas partes que impõem restrições:
-
Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.Isso representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
-
Logaritmo natural: O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.Simplificando a expressão:Então:Isso significa que a distância entre $ x $ e $ y $ deve ser maior que 2.
Agora, o domínio da função é a interseção dessas duas condições.
Passo 3
Vamos visualizar isso:
- $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $: Um círculo fechado de raio 2.
- $ |x - y| > 2 $: Duas regiões fora das linhas $ x - y = 2 $ e $ x - y = -2 $.
A interseção dessas regiões significa que estamos pegando os pontos dentro do círculo onde $ |x - y| > 2 $.
Passo 4
Agora, vamos analisar as propriedades do domínio:
-
Aberto ou Fechado: O domínio inclui os limites da desigualdade $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $, mas exclui os pontos onde $ |x - y| = 2 $. Portanto, o domínio é semi-aberto.
-
Limitado: Como está contido dentro de um círculo de raio 2, o domínio é limitado.
-
Conexo: O domínio está dividido em duas partes devido à condição $ |x - y| > 2 $, ou seja, não é possível ir de uma parte à outra sem sair do domínio. Portanto, o domínio é desconexo.
Passo 5
b) $ Z = \ln \left(x(\sqrt{x} - y)\right) $
Vamos determinar o domínio dessa função. Temos um logaritmo cujo argumento precisa ser maior que zero:
Além disso, dentro da raiz quadrada, $ x $ deve ser não negativo:
Passo 6
Vamos analisar a desigualdade:
Considerando $ x \geq 0 $:
- Se $ x > 0 $, então $ \sqrt{x} - y > 0 \implies y < \sqrt{x} $.
- Se $ x = 0 $, a expressão se anula, mas como é estritamente maior que zero, $ x = 0 $ não faz parte do domínio.
Portanto, o domínio é:
Passo 7
Visualizando isso no plano:
- $ x > 0 $: Região à direita do eixo $ y $.
- $ y < \sqrt{x} $: Região abaixo da curva $ y = \sqrt{x} $.
A interseção dessas regiões define o domínio.
Passo 8
Analisando as propriedades:
-
Aberto ou Fechado: O domínio não inclui a fronteira $ y = \sqrt{x} $ nem $ x = 0 $, portanto, é aberto.
-
Limitado: Não há limites superiores para $ x $ e $ y $ é limitada por $ \sqrt{x} $, mas como $ x $ pode crescer sem limite, o domínio é ilimitado.
-
Conexo: É uma única região contínua, então é conexo.
Passo 9
c) $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $
Vamos encontrar o domínio. As funções $ \arcsen $ e $ \arccos $ impõem restrições nos seus argumentos:
Passo 10
Vamos escrever essas desigualdades:
-
Para $ \arcsen(x - y) $:
-
Para $ \arccos(y - 2x) $:
Passo 11
Agora, o domínio é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente ambas as condições:
Isso define uma região no plano onde essas faixas se sobrepõem.
Passo 12
Analisando as propriedades:
-
Aberto ou Fechado: As desigualdades são inclusivas (
), então o domínio inclui as fronteiras, sendo fechado. -
Limitado: As restrições criam um intervalo limitado para $ x $ e $ y $, então o domínio é limitado.
-
Conexo: É uma única região contínua onde as condições se sobrepõem, então é conexo.
Passo 13
d) $ Z = \ln \left(\sqrt{(x + y - 1)(x - y^{2})}\right) $
Vamos determinar o domínio. Primeiro, o argumento do logaritmo deve ser maior que zero:
Isso implica que:
-
Dentro da raiz: Deve ser não negativo.
-
Radiciação: O conteúdo dentro da raiz deve ser maior que zero para que a expressão seja real.
Passo 14
Vamos analisar a desigualdade:
Isso acontece quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.
-
Ambos positivos:
-
Ambos negativos:
Passo 15
Visualizando no plano:
- $ x + y - 1 > 0 $: Região acima da reta $ y = -x + 1 $.
- $ x - y^{2} > 0 $: Região à direita da parábola $ y^{2} = x $.
E similarmente para as condições negativas.
Passo 16
Propriedades do domínio:
-
Aberto ou Fechado: As desigualdades são estritas ($ > 0 $ e $ < 0 $), então o domínio não inclui as fronteiras, sendo aberto.
-
Limitado: Não há restrições superiores para $ x $ e $ y $, então o domínio é ilimitado.
-
Conexo: O domínio pode estar dividido em duas partes (onde ambos os fatores são positivos ou negativos), portanto, é desconexo.
Passo 17
e) $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log \left(x^{2} + y^{2} - 1\right) $
Vamos encontrar o domínio dessa função. Temos duas partes que impõem restrições:
-
Radiciação: O conteúdo dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.
-
Logaritmo: O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
Passo 18
Vamos interpretar essas condições:
- $ x \leq y^{2} $: Região à esquerda ou sobre a parábola $ y^{2} = x $.
- $ x^{2} + y^{2} > 1 $: Região fora do círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 19
O domínio é a interseção dessas duas regiões: pontos que estão à esquerda da parábola e também fora do círculo.
Passo 20
Propriedades do domínio:
-
Aberto ou Fechado: Inclui a fronteira da parábola $ x = y^{2} $ porque $ \geq $, mas exclui a fronteira do círculo porque $ > $. Portanto, o domínio é semi-aberto.
-
Limitado: Não há limites superiores para $ y $, então o domínio é ilimitado.
-
Conexo: A região formada pode estar em uma única peça contínua, então é conexo.
Passo 21
f) $ Z = \ln (x - y) + \arcsen |x| $
Vamos determinar o domínio dessa função. Temos duas partes com restrições:
-
Logaritmo natural: O argumento deve ser maior que zero.
-
$ \arcsen $: O argumento deve estar entre -1 e 1.
Passo 22
Resumindo as condições:
Isso define uma região no plano onde $ y $ está abaixo da linha $ y = x $ e $ x $ está entre -1 e 1.
Passo 23
Visualizando:
- $ -1 \leq x \leq 1 $: Intervalo horizontal entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
- $ y < x $: Região abaixo da reta diagonal $ y = x $.
A interseção dessas condições forma uma faixa triangular.
Passo 24
Analisando as propriedades:
-
Aberto ou Fechado: A condição $ y < x $ é estrita, então a fronteira $ y = x $ não está incluída. Já $ x $ pode ser igual a -1 ou 1. Portanto, o domínio é semi-aberto.
-
Limitado: $ x $ está entre -1 e 1, e $ y $ é limitado por $ y < x $. Logo, o domínio é limitado.
-
Conexo: É uma única região contínua, então é conexo.
Resposta
Para a função f) $ Z = \ln (x - y) + \arcsen |x| $:
- Domínio: Conjunto de pontos
tais que $ y < x $ e $ -1 \leq x \leq 1 $. - Propriedades do Domínio: É semi-aberto, limitado e conexo.