A integral a seguir é convergente ou divergente? (Justifique)
integral0^+infty x e^-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência de
integral0^+infty x,e^-4x,dx
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Em x=0 o integrando x e^-4x é contínuo e finito, então o único possível problema está em +infty.

Passo 2

Para estudar o comportamento em +infty, definimos a integral como limite
I(R)=integral0^R x,e^-4x,dx
e veremos se limRto+inftyI(R) existe e é finito.

Passo 3

Para calcular I(R) usamos integração por partes. Escolhemos
u = x, dv = e^-4x,dx,
de modo que
du = dx, v = -14e^-4x

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
I(R) = l-x4e^-4xr|0^R + 14integral0^R e^-4x,dx
Como
integral0^R e^-4x,dx = -14e^-4x|0^R = 14l(1-e^-4Rr),
segue
I(R) = -R4e^-4R + 116l(1-e^-4Rr) = 116l(1-(4R+1)e^-4Rr)

Passo 5

Fazendo Rto+infty, o termo (4R+1)e^-4R tende a zero, logo
limRto+inftyI(R) = 116,
que é um número finito. Portanto a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e vale 116.

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