Calcule a soma
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas somas envolvendo ângulos igualmente espaçados em torno da circunferência:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações claras do enunciado:
- A soma vai de
até . - O parâmetro
é um inteiro positivo (assumiremos , ). - Cada termo usa o ângulo
, ou seja, são os pontos igualmente espaçados no círculo unitário (começando em ).
Passo 2
Ideia que vou usar (explicação didática): representar seno e cosseno pela exponencial complexa. A fórmula de Euler diz que, para todo ângulo
,
onde
é a unidade imaginária (
). Isso significa que o cosseno é a parte real e o seno é a parte imaginária da exponencial complexa:
Vou somar as exponenciais correspondentes e depois separar parte real e imaginária para obter
e
. Essa é uma técnica padrão porque somas de exponenciais levam a uma soma geométrica que é fácil de calcular.
Passo 3
Defino a soma complexa
Pela relação de Euler, cada termo é
. Portanto, relacionando com
e
,
Logo, se eu conseguir calcular
, basta tomar a parte real para obter
e a parte imaginária para obter
.
Passo 4
Calculo de
como soma geométrica. Note que a razão da progressão geométrica é
Então
Há duas possibilidades a considerar:
ou
.
- Quando
(caso típico para ), a soma de uma progressão geométrica com termos vale
Aqui
. Portanto, para
(ou seja,
),
- Quando
ocorre se e somente se . Isso acontece quando é múltiplo de , ou seja, quando . Se então a soma tem só o termo e
Resumindo:
Passo 5
Agora extraio
e
a partir de
.
- Se
, então . Assim , o que implica
- Se
, então . Como e para a soma tem apenas o termo e , obtemos
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (intuição): os pontos
são os vértices de um polígono regular centrado na origem no plano complexo. A soma vetorial desses vértices é o vetor nulo quando
porque as contribuições se cancelam simetricamente ao redor do círculo. Para
há só o ponto
, soma não-nula. Isso confirma as conclusões anteriores de forma intuitiva.
Passo 7
Conclusão final e observações finais:
- A soma dos cossenos é zero, exceto no caso degenerado
em que é . - A soma dos senos é sempre zero (porque o componente imaginário da soma dos raízes da unidade é zero também no caso
).
Força aí — a técnica de transformar seno e cosseno em exponenciais é poderosa e evita muitas contas repetitivas numa prova.