Calcule a soma S=\sum_{k=0}^{n-1} \cos \left(\frac{2 \pi k}{n}\right) e T=\sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi k}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas somas envolvendo ângulos igualmente espaçados em torno da circunferência:
  • Calcular S=\sum_{k=0}^{n-1} \cos\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right).
  • Calcular T=\sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right).
Informações claras do enunciado:
  • A soma vai de k=0 até k=n-1.
  • O parâmetro n é um inteiro positivo (assumiremos n\in\mathbb{N}, n\ge1).
  • Cada termo usa o ângulo \dfrac{2\pi k}{n}, ou seja, são os n pontos igualmente espaçados no círculo unitário (começando em 0).

Passo 2

Ideia que vou usar (explicação didática): representar seno e cosseno pela exponencial complexa. A fórmula de Euler diz que, para todo ângulo \theta,
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\operatorname{sen}(\theta),
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Isso significa que o cosseno é a parte real e o seno é a parte imaginária da exponencial complexa:
\cos(\theta)=\Re\big(e^{i\theta}\big),\qquad \operatorname{sen}(\theta)=\Im\big(e^{i\theta}\big).
Vou somar as exponenciais correspondentes e depois separar parte real e imaginária para obter S e T. Essa é uma técnica padrão porque somas de exponenciais levam a uma soma geométrica que é fácil de calcular.

Passo 3

Defino a soma complexa
U=\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2\pi k}{n}}.
Pela relação de Euler, cada termo é e^{i\frac{2\pi k}{n}}=\cos\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right). Portanto, relacionando com S e T,
U = S + iT.
Logo, se eu conseguir calcular U, basta tomar a parte real para obter S e a parte imaginária para obter T.

Passo 4

Calculo de U como soma geométrica. Note que a razão da progressão geométrica é
r=e^{i\frac{2\pi}{n}}.
Então
U=\sum_{k=0}^{n-1} r^k.
Há duas possibilidades a considerar: r=1 ou r\neq1.
  • Quando r\neq1 (caso típico para n\ge2), a soma de uma progressão geométrica com n termos vale
\sum_{k=0}^{n-1} r^k=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Aqui r^{n}=\left(e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)^{n}=e^{i2\pi}=1. Portanto, para r\neq1 (ou seja, n\ge2),
U=\frac{1-1}{1-r}=0.
  • Quando r=1 ocorre se e somente se e^{i\frac{2\pi}{n}}=1. Isso acontece quando \frac{2\pi}{n} é múltiplo de 2\pi, ou seja, quando n=1. Se n=1 então a soma tem só o termo k=0 e
U=\sum_{k=0}^{0} e^{i\frac{2\pi k}{1}}=e^{i\cdot0}=1.
Resumindo:
U= \begin{cases} 1, & \text{se } n=1,\\[4pt] 0, & \text{se } n\ge2. \end{cases}]

Passo 5

Agora extraio S e T a partir de U=S+iT.
  • Se n\ge2, então U=0. Assim S+iT=0, o que implica
S=0,\qquad T=0.
  • Se n=1, então U=1. Como U=S+iT e para n=1 a soma tem apenas o termo \cos 0=1 e \operatorname{sen} 0=0, obtemos
S=1,\qquad T=0.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (intuição): os pontos e^{i\frac{2\pi k}{n}} são os vértices de um polígono regular centrado na origem no plano complexo. A soma vetorial desses vértices é o vetor nulo quando n\ge2 porque as contribuições se cancelam simetricamente ao redor do círculo. Para n=1 há só o ponto 1, soma não-nula. Isso confirma as conclusões anteriores de forma intuitiva.

Passo 7

Conclusão final e observações finais:
  • A soma dos cossenos é zero, exceto no caso degenerado n=1 em que é 1.
  • A soma dos senos é sempre zero (porque o componente imaginário da soma dos raízes da unidade é zero também no caso n=1).
Força aí — a técnica de transformar seno e cosseno em exponenciais é poderosa e evita muitas contas repetitivas numa prova.

Resposta

S=1 se n=1, e S=0 se n\ge2.
T=0 para todo n\ge1.

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