Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas: y=x ln (x).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função logarítmica composta y = x ln(x). O conteúdo aqui envolve análise de domínio, interceptos, derivadas (para monotonicidade e pontos críticos), concavidade e limites, que juntos permitem traçar o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da função. Como temos ln(x), precisamos de x>0. Logo, o domínio é (0, +infty).
Em seguida, achamos os interceptos. Não há intercepto em y porque x=0 não pertence ao domínio. Para o intercepto em x, resolvemos xln(x)=0, que ocorre em x=1, pois ln(1)=0. Assim, a curva passa por (1,0).

Passo 3

Agora calculamos a derivada para estudar pontos críticos e monotonicidade. Usando a regra do produto,
y = x ln(x) Rightarrow y' = 1cdotln(x) + xcdot1x = ln(x) + 1

Passo 4

Igualando y'=0 obtemos o ponto crítico:
ln(x) + 1 = 0 Rightarrow ln(x) = -1 Rightarrow x = e^-1 = tfrac1e

Passo 5

O valor de y nesse ponto é
yl(tfrac1er) = 1e lnl(tfrac1er) = 1e (-1) = -1e

Passo 6

Para estudar a concavidade, calculamos a segunda derivada:
y'' = ddxl(ln(x)+1r) = 1x, que é positiva para todo x>0. Então a curva é sempre côncava para cima.

Passo 7

Finalmente, analisamos os limites nas extremidades do domínio:
limxto0^+ xln(x) = 0^-(tende a zero pelo lado negativo),
limxto+infty xln(x) = +infty

Passo 8

Com todas essas informações — domínio (0,+infty), ponto de mínimo (1/e, -1/e), intercepto (1,0), decrescente em (0,1/e), crescente em (1/e,+infty), sempre côncava para cima, e os limites nas bordas — podemos esboçar a curva.
O esboço mostra a curva partindo de $ (0,0) $ vindo de baixo (negativo), caindo até (0,0) , depois subindo, cruzando o eixo (1/e,-1/e) em x e indo para (1,0).

Resposta

Gráfico de y=xln(x):
• Domínio: x>0.
• Limites: tende a 0 pela direita negativo quando xto0^+ e a +∞ quando xto+∞.
• Ponto crítico e mínimo em l(tfrac1e,-tfrac1er).
• Intercepto em (1,0).
• Monotonicidade: decrescente em (0,1/e) e crescente em (1/e,+infty).
• Concavidade para cima em todo o domínio.
Com isso, o esboço começa perto de 0-, desce até o mínimo em (1/e,-1/e), depois sobe, atravessa (1,0) e cresce indefinidamente.

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