Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função logarítmica composta
. O conteúdo aqui envolve análise de domínio, interceptos, derivadas (para monotonicidade e pontos críticos), concavidade e limites, que juntos permitem traçar o esboço da curva.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio da função. Como temos
, precisamos de
. Logo, o domínio é
.
Em seguida, achamos os interceptos. Não há intercepto em porque
não pertence ao domínio. Para o intercepto em
, resolvemos
, que ocorre em
, pois
. Assim, a curva passa por
.
Em seguida, achamos os interceptos. Não há intercepto em
Passo 3
Agora calculamos a derivada para estudar pontos críticos e monotonicidade. Usando a regra do produto,
Passo 4
Igualando
obtemos o ponto crítico:
Passo 5
O valor de
nesse ponto é
Passo 6
Para estudar a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Passo 7
Finalmente, analisamos os limites nas extremidades do domínio:
Passo 8
Com todas essas informações — domínio
, ponto de mínimo
, intercepto
, decrescente em
, crescente em
, sempre côncava para cima, e os limites nas bordas — podemos esboçar a curva.
O esboço mostra a curva partindo de $ (0,0) $ vindo de baixo (negativo), caindo até , depois subindo, cruzando o eixo
em
e indo para
.
O esboço mostra a curva partindo de $ (0,0) $ vindo de baixo (negativo), caindo até
Resposta
Gráfico de
:
• Domínio: .
• Limites: tende a 0 pela direita negativo quando e a +∞ quando
.
• Ponto crítico e mínimo em .
• Intercepto em .
• Monotonicidade: decrescente em e crescente em
.
• Concavidade para cima em todo o domínio.
Com isso, o esboço começa perto de 0-, desce até o mínimo em , depois sobe, atravessa
e cresce indefinidamente.
• Domínio:
• Limites: tende a 0 pela direita negativo quando
• Ponto crítico e mínimo em
• Intercepto em
• Monotonicidade: decrescente em
• Concavidade para cima em todo o domínio.
Com isso, o esboço começa perto de 0-, desce até o mínimo em