Mostre que a função harmônica esférica
satisfaz a equação angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função harmônica esférica
satisfaz uma certa equação diferencial angular. Basicamente, estamos trabalhando com as funções esféricas harmônicas, que aparecem muito em física, especialmente em problemas com simetria esférica, como o campo elétrico ao redor de uma carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar da forma explícita de
e calcular algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma de
. As funções harmônicas esféricas são normalmente expressas em termos de polinômios de Legendre associados. Para
e
, a função é dada por:
Aqui,
é o número quântico azimutal e
é o número quântico magnético. A função
traz a dependência angular em
, mas como a equação que queremos verificar só depende de
, vamos focar na parte que depende de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar
. Nosso objetivo é mostrar que
satisfaz a equação diferencial dada:
Com
e
, a equação fica:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, calculemos
:
Agora, calculamos
:
Em seguida, encontramos a derivada dessa expressão em relação a
:
Passo 5
Substituímos as derivadas na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Juntando termos semelhantes:
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Resposta
Conseguimos ver que, ao substituir
na equação diferencial dada, o resultado é zero. Portanto, a função harmônica esférica
satisfaz a equação angular apresentada.