Mostre que a função harmônica esférica Y11(theta, phi) satisfaz a equação angular
1sin theta dd theta(sin theta d fd theta)+[ell(ell+1)-mell^2sin ^2 theta] f=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função harmônica esférica satisfaz uma certa equação diferencial angular. Basicamente, estamos trabalhando com as funções esféricas harmônicas, que aparecem muito em física, especialmente em problemas com simetria esférica, como o campo elétrico ao redor de uma carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar da forma explícita de e calcular algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma de Y11(theta, phi) = -raiz38pi sintheta , e^iphi . As funções harmônicas esféricas são normalmente expressas em termos de polinômios de Legendre associados. Para e , a função é dada por:
Aqui, é o número quântico azimutal e é o número quântico magnético. A função traz a dependência angular em , mas como a equação que queremos verificar só depende de , vamos focar na parte que depende de , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos considerar 1sin theta dd theta(sin theta d fd theta) + [ell(ell+1) - m^2sin^2 theta] f = 0 . Nosso objetivo é mostrar que 1sin theta dd theta(sin theta d fd theta) + [2 - 1sin^2 theta] f = 0 satisfaz a equação diferencial dada:
Com e , a equação fica:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, calculemos d fd theta = dd theta (sintheta) = costheta :
sintheta d fd theta = sintheta cdot costheta
Agora, calculamos dd theta (sintheta cdot costheta) = cos^2theta - sin^2theta :
Em seguida, encontramos a derivada dessa expressão em relação a :

Passo 5

Substituímos as derivadas na equação original:
1sin theta (cos^2theta - sin^2theta) + [2 - 1sin^2 theta] sintheta = 0
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
cos^2theta - sin^2thetasintheta = cos^2thetasintheta - sintheta
Segundo termo:
[2 - 1sin^2 theta] sintheta = 2sintheta - 1sintheta
Agora, juntando tudo:
(cos^2thetasintheta - sintheta) + (2sintheta - 1sintheta) = 0
Simplificando:
cos^2thetasintheta - sintheta + 2sintheta - 1sintheta = 0
Juntando termos semelhantes:
cos^2theta - 1sintheta + sintheta = 0
Sabemos que -sin^2thetasintheta + sintheta = -sintheta + sintheta = 0 , então . Substituindo:

Resposta

Conseguimos ver que, ao substituir na equação diferencial dada, o resultado é zero. Portanto, a função harmônica esférica satisfaz a equação angular apresentada.

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