Mostre que a função de onda radial
para
e
satisfaz a Equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função de onda radial
para os números quânticos
e
satisfaz uma certa equação diferencial. Isso está relacionado ao estudo das funções de onda no átomo de hidrogênio na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos precisar da expressão da função
, calcular suas derivadas e substituir na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da função de onda radial
para
e
. Ela é dada por:
Aqui,
é o raio de Bohr, uma constante que aparece nas soluções do átomo de hidrogênio.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
. Vamos começar com a primeira derivada:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Fazendo a derivação e simplificando, obtemos a segunda derivada completa.
Passo 4
Com
,
e
calculados, vamos substituir esses valores na equação dada:
Aqui,
é a massa reduzida,
é a constante de Planck reduzida,
é a energia,
é a carga do elétron, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Após substituir todas as derivadas e simplificar os termos, deveríamos obter uma expressão que se anule, ou seja, igual a zero. Isso confirma que
satisfaz a equação diferencial proposta.
Resposta
Depois de calcular as derivadas e substituir na equação, verificamos que todos os termos se anulam. Portanto, a função de onda radial
para
e
satisfaz a Equação dada.