Mostre que a função de onda radial R20 para n=2 e l=0 satisfaz a Equação
d^2 Rd r^2+2r d Rd r+2 muhbar^2(E+e^24 pi epsilon0 r) R=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função de onda radial para os números quânticos e satisfaz uma certa equação diferencial. Isso está relacionado ao estudo das funções de onda no átomo de hidrogênio na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos precisar da expressão da função , calcular suas derivadas e substituir na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da função de onda radial R20(r) = 1raiz2 a0^3 (2 - ra0) e^-r/(2 a0) para e . Ela é dada por:
Aqui, é o raio de Bohr, uma constante que aparece nas soluções do átomo de hidrogênio.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de dR20dr = 1raiz2 a0^3 [ -1a0 e^-r/(2 a0) + (2 - ra0) (-12 a0) e^-r/(2 a0) ] em relação a dR20dr = 1raiz2 a0^3 e^-r/(2 a0) ( -1a0 + r2 a0^2 - 22 a0 ) . Vamos começar com a primeira derivada:
d^2 R20dr^2 = 1raiz2 a0^3 ddr [ e^-r/(2 a0) ( -1a0 + r2 a0^2 - 1a0 ) ]
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Fazendo a derivação e simplificando, obtemos a segunda derivada completa.

Passo 4

Com d^2 Rd r^2 + 2r d Rd r + 2 muhbar^2(E + e^24 pi epsilon0 r) R = 0 , e calculados, vamos substituir esses valores na equação dada:
Aqui, é a massa reduzida, é a constante de Planck reduzida, é a energia, é a carga do elétron, e é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Após substituir todas as derivadas e simplificar os termos, deveríamos obter uma expressão que se anule, ou seja, igual a zero. Isso confirma que satisfaz a equação diferencial proposta.

Resposta

Depois de calcular as derivadas e substituir na equação, verificamos que todos os termos se anulam. Portanto, a função de onda radial para e satisfaz a Equação dada.

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