Suponha que alguém queira recriar a bola de canhão humana de Farini usando uma mola dentro de um barril. Pressuponha que o barril tenha 4,00 m de comprimento, com uma mola que se estende por todo o comprimento do barril. Além disso, o barril está com uma posição vertical, então aponta verticalmente em direção ao teto da lona do circo. A bola de canhão humana é inserida dentro do barril e comprime a mola até certo ponto. Uma força externa é adicionada para comprimir a mola ainda mais, até um comprimento de apenas 0,70 m. A uma altura de 7,50 m acima da parte superior do barril existe um local da lona que a bola de canhão humana, de 1,75 m de altura e massa de 68,4 kg, deve tocar no pico de sua trajetória. A remoção da força externa libera a mola e dispara a bola de canhão humana verticalmente para cima.
Qual é o valor da constante elástica necessária para realizar esse feito?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação onde uma “bola de canhão humana” é lançada verticalmente para cima usando uma mola dentro de um barril. O barril tem 4,00 metros de comprimento e, inicialmente, a mola está comprimida até ocupar todo esse comprimento. Depois, uma força externa comprime a mola ainda mais, reduzindo seu comprimento para apenas 0,70 metros. Quando a mola é liberada, ela empurra a pessoa (massa de 68,4 kg e altura de 1,75 m) para cima, de modo que ela atinja uma altura máxima de 7,50 metros acima da parte superior do barril. Queremos descobrir qual é a constante elástica (k) dessa mola para que isso aconteça. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. A energia potencial elástica (U) armazenada em uma mola é dada pela fórmula:
U = 12 k x^2
onde:
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x $ é a deformação da mola em metros.
No nosso caso, a mola é comprimida de 4,00 m para 0,70 m, então a deformação $ x $ é a diferença entre esses dois comprimentos:
k

Passo 3

Quando a mola é liberada, toda a energia potencial elástica se transforma em energia cinética (K) da pessoa sendo lançada para cima:
K = U
Ou seja:
12 k x^2 = 12 m v^2
onde:
  • $ m $ é a massa da pessoa,
  • $ v $ é a velocidade inicial da pessoa ao deixar o barril.
No entanto, para atingir uma altura $ h $, a energia cinética se transforma em energia potencial gravitacional (Epg):
m
onde:
  • $ g $ é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura máxima atingida.
Como a energia é conservada, temos:
v

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para resolver a constante elástica $ k $:
k
Substituindo os valores conhecidos:
  • $ m = 68,4 , kg $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
  • $ h = 7,50 , m $
  • $ x = 3,30 , m $
k = 2 m g hx^2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o numerador:
2 times 68,4 times 9,81 times 7,50 = 2 times 68,4 = 136,8
136,8 times 9,81 = 1343,928
1343,928 times 7,50 = 10,079,46
Agora, o denominador:
(3,30)^2 = 10,89
Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
k = 10,079,4610,89 approx 925,97 , N/m

Resposta

A constante elástica necessária para realizar o feito é aproximadamente $ 926 , N/m $.

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