Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que
da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
- Prever, usando a analogia massa-mola, o comportamento de
quando . - Confirmar essa previsão resolvendo o problema de valor inicial explicitamente.
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes da equação: termo de segunda derivada com coeficiente
, termo de primeira derivada com coeficiente , termo proporcional com coeficiente . - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Explicação da analogia massa-mola e interpretação dos coeficientes (aulas rápidas e diretas).
- A equação de um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa tem a forma
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento (amortecedor) e
a constante da mola.
- Dividindo por
obtém-se a forma padrão
- Definem-se a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento adimensional por
Interpretação prática:
- Se
(subamortecido) ocorre oscilação amortecida. - Se
(criticamente amortecido) não há oscilações e o retorno é o mais rápido sem oscilar. - Se
(sobreamortecido) não há oscilações e o retorno ao equilíbrio é através da superposição de duas exponenciais decrescentes (modos reais distintos).
Aplicando ao nosso caso (comparando com
):
- Tomando
, , . - Então
Como
, o sistema é sobreamortecido (overdamped): a previsão pela analogia é que
não vai oscilar e vai decair para zero quando
, com duas componentes exponenciais decrescentes; uma dessas componentes terá decaimento muito lento (polo próximo de zero) e dominará o comportamento para grandes
.
Passo 3
Resolver o problema via equação característica (a verificação matemática).
- Escreve-se a equação característica associada:
- Calcula-se o discriminante:
- As raízes são
Nota útil de simplificação:
, portanto
Observação sobre o sinal: como
, ambas as raízes são reais e negativas, confirmando o caso sobreamortecido e que ambas as componentes exponenciais decaem.
Passo 4
Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais.
- A solução geral é
com
e
.
- Impondo
dá
- A derivada é
e a condição
dá
- Resolvendo o sistema linear para
: usando ,
Como
e
, obtemos as constantes explícitas
Passo 5
Interpretação numérica e confirmação da previsão.
- Aproximações úteis:
. - Portanto as raízes são aproximadamente
- As constantes aproximadas são
- Assim uma forma aproximada da solução é
- Conclusão quantitativa: o segundo termo decai extremamente rápido (taxa
), ficando insignificante já para pequenos, enquanto o primeiro termo decai muito lentamente (taxa ) e domina o comportamento para grandes . Em particular, como ambas as exponenciais têm expoentes negativos,
confirmando a previsão: não há oscilações e a solução tende a zero exponencialmente, com modo lento predominante.
Resposta
A solução é
Comportamento quando
:
(sem oscilações; decaimento exponencial, dominado por um modo lento com taxa aproximada
).