Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que t \rightarrow+\infty da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
y^{\prime \prime}+100 y^{\prime}+y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 100\,y' + y = 0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido:
  • Prever, usando a analogia massa-mola, o comportamento de y(t) quando t\to +\infty.
  • Confirmar essa previsão resolvendo o problema de valor inicial explicitamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes da equação: termo de segunda derivada com coeficiente 1, termo de primeira derivada com coeficiente 100, termo proporcional com coeficiente 1.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 2

Explicação da analogia massa-mola e interpretação dos coeficientes (aulas rápidas e diretas).
  • A equação de um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa tem a forma
m\,y'' + c\,y' + k\,y = 0,
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento (amortecedor) e k a constante da mola.
  • Dividindo por m obtém-se a forma padrão
y'' + \frac{c}{m}\,y' + \frac{k}{m}\,y = 0.
  • Definem-se a frequência natural \omega_n e o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta por
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}.
Interpretação prática:
  • Se \zeta<1 (subamortecido) ocorre oscilação amortecida.
  • Se \zeta=1 (criticamente amortecido) não há oscilações e o retorno é o mais rápido sem oscilar.
  • Se \zeta>1 (sobreamortecido) não há oscilações e o retorno ao equilíbrio é através da superposição de duas exponenciais decrescentes (modos reais distintos).
Aplicando ao nosso caso (comparando com y'' + 100 y' + 1\cdot y = 0):
  • Tomando m=1, c=100, k=1.
  • Então
\omega_n = \sqrt{1}=1,\qquad \zeta = \frac{100}{2\cdot1\cdot1} = 50.
Como \zeta = 50 > 1, o sistema é sobreamortecido (overdamped): a previsão pela analogia é que y(t) não vai oscilar e vai decair para zero quando t\to+\infty, com duas componentes exponenciais decrescentes; uma dessas componentes terá decaimento muito lento (polo próximo de zero) e dominará o comportamento para grandes t.

Passo 3

Resolver o problema via equação característica (a verificação matemática).
  • Escreve-se a equação característica associada:
\lambda^2 + 100\lambda + 1 = 0.
  • Calcula-se o discriminante:
\Delta = 100^2 - 4\cdot1\cdot1 = 10000 - 4 = 9996.
  • As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{-100 \pm \sqrt{9996}}{2}.
Nota útil de simplificação: \sqrt{9996} = 2\sqrt{2499}, portanto
\lambda_{1,2} = -50 \pm \sqrt{2499}.
Observação sobre o sinal: como \sqrt{2499} < 50, ambas as raízes são reais e negativas, confirmando o caso sobreamortecido e que ambas as componentes exponenciais decaem.

Passo 4

Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais.
  • A solução geral é
y(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t},
com \lambda_1 = -50 + \sqrt{2499} e \lambda_2 = -50 - \sqrt{2499}.
  • Impondo y(0)=1
C_1 + C_2 = 1.
  • A derivada é
y'(t) = C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \lambda_2 e^{\lambda_2 t},
e a condição y'(0)=0
C_1 \lambda_1 + C_2 \lambda_2 = 0.
  • Resolvendo o sistema linear para C_1,C_2: usando C_2 = 1-C_1,
C_1(\lambda_1 - \lambda_2) = -\lambda_2 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}.
Como \lambda_1 - \lambda_2 = 2\sqrt{2499} e -\lambda_2 = 50 + \sqrt{2499}, obtemos as constantes explícitas
C_1 = \frac{50 + \sqrt{2499}}{2\sqrt{2499}},\qquad C_2 = \frac{\sqrt{2499} - 50}{2\sqrt{2499}}.

Passo 5

Interpretação numérica e confirmação da previsão.
  • Aproximações úteis: \sqrt{2499}\approx 49{,}99.
  • Portanto as raízes são aproximadamente
\lambda_1 \approx -50 + 49{,}99 \approx -0{,}01,\qquad \lambda_2 \approx -50 - 49{,}99 \approx -99{,}99.
  • As constantes aproximadas são
C_1 \approx 1{,}00010,\qquad C_2 \approx -0{,}000100.
  • Assim uma forma aproximada da solução é
y(t) \approx 1{,}00010\,e^{-0{,}01\,t} - 0{,}000100\,e^{-99{,}99\,t}.
  • Conclusão quantitativa: o segundo termo decai extremamente rápido (taxa \approx 100), ficando insignificante já para t pequenos, enquanto o primeiro termo decai muito lentamente (taxa \approx 0{,}01) e domina o comportamento para grandes t. Em particular, como ambas as exponenciais têm expoentes negativos,
\lim_{t\to+\infty} y(t) = 0,
confirmando a previsão: não há oscilações e a solução tende a zero exponencialmente, com modo lento predominante.

Resposta

A solução é
y(t) = \frac{50 + \sqrt{2499}}{2\sqrt{2499}}\,e^{\bigl(-50+\sqrt{2499}\bigr)t} + \frac{\sqrt{2499}-50}{2\sqrt{2499}}\,e^{\bigl(-50-\sqrt{2499}\bigr)t}.
Comportamento quando t\to+\infty: y(t)\to 0 (sem oscilações; decaimento exponencial, dominado por um modo lento com taxa aproximada 0{,}01).

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