Mostre que a função k(x)=ll2 x & se x <= 0 x^2 & se x>0 é contínua em x=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função [k(x)) é contínua em . A função é definida por partes:
Para provar que , vamos usar o conceito de continuidade, que envolve verificar se o limite da função quando se aproxima de 0 coincide com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função em x = 0.
k(0) = 2 times 0 = 0
Então, k(0) = 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^-).
Quando x <= 0, a função é k(x) = 2x. Portanto:
limx to 0^- k(x) = limx to 0^- 2x = 2 times 0 = 0

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+).
Quando x > 0, a função é k(x) = x^2. Portanto:
limx to 0^+ k(x) = limx to 0^+ x^2 = 0^2 = 0

Passo 5

Agora, comparamos os limites laterais e o valor da função em x = 0:
limx to 0^- k(x) = 0
limx to 0^+ k(x) = 0
k(0) = 0
Todos são iguais a 0.

Resposta

Como os limites laterais quando x se aproxima de 0 são iguais ao valor da função em x = 0, concluímos que a função k(x) é contínua em x = 0.

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