Se três retas são duas a duas concorrentes e não passam pelo mesmo ponto, prove que elas são coplanares.
Passo 1
O enunciado pede para provar que três retas
,
e
, que se intersectam duas a duas em pontos distintos, são coplanares. Vamos usar dois resultados de geometria espacial:
(1) Duas retas concorrentes determinam um plano único que as contém.
(2) Se dois pontos distintos de uma reta estão em um plano, então toda a reta está nesse plano.
(1) Duas retas concorrentes determinam um plano único que as contém.
(2) Se dois pontos distintos de uma reta estão em um plano, então toda a reta está nesse plano.
Passo 2
Sejam
os três pontos de interseção, distintos por hipótese. Como
e
se encontram em
, existe um plano
que contém
e
. Dessa forma
e
, logo
e
pertencem ao plano
.
Passo 3
Os pontos
e
são distintos e pertencem à reta
e ao plano
. Pelo fato (2), isso implica que toda a reta
está contida em
. Assim
,
e
estão todas em
.
Resposta
As retas
,
e
são coplanares, pois estão contidas no mesmo plano
.