Um tambor cônico com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a altura da coluna de água cair pela metade determinar a altura
em função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia. A lei de Torricelli diz que a taxa com que um liquido escoa por um orifício situado a uma profundidade
é proporcional a
.
Passo 1
A questão envolve um tambor cônico de vértice para baixo (altura inicial de água 2 m e raio da base 1 m) e a lei de Torricelli, que diz que a vazão volumétrica é proporcional a
. Para resolver, vamos relacionar o volume de água com a altura
, usar a lei de vazão para montar uma equação diferencial e resolver por separação de variáveis, aplicando as condições iniciais e intermediária.
Passo 2
O volume de água quando a altura é
(formando um sub-cone similar ao grande) é
Derivando em relação a
temos
Pela lei de Torricelli, a vazão é
para alguma constante
.
Passo 3
Como
vamos igualar a vazão dada:
Isolando
obtém-se
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Integramos dos tempos 0 a
e das alturas 2 a
:
Isso dá
Reorganizando:
Passo 5
Usando a condição intermediária de que em 30 min a altura cai a metade, ou seja
, temos
Logo
e
Passo 6
Substituindo
na expressão de
obtemos
Finalmente,
Passo 7
Para achar o tempo total
de esvaziamento, basta zerar
, ou seja a quantidade entre parênteses deve ser zero:
Resposta
A altura em função do tempo é
metros, e o tambor esvazia totalmente em
minutos (aprox. 36,5 minutos).