Um tambor cônico com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a altura da coluna de água cair pela metade determinar a altura h em função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia. A lei de Torricelli diz que a taxa com que um liquido escoa por um orifício situado a uma profundidade h é proporcional a raizh.

Passo 1

A questão envolve um tambor cônico de vértice para baixo (altura inicial de água 2 m e raio da base 1 m) e a lei de Torricelli, que diz que a vazão volumétrica é proporcional a raizh. Para resolver, vamos relacionar o volume de água com a altura h(t), usar a lei de vazão para montar uma equação diferencial e resolver por separação de variáveis, aplicando as condições iniciais e intermediária.

Passo 2

O volume de água quando a altura é h (formando um sub-cone similar ao grande) é
V(h)=13pil(tfrach2r)^2,h=pi12,h^3
Derivando em relação a h temos
dVdh=pi4,h^2
Pela lei de Torricelli, a vazão é dV/dt=-kraizh para alguma constante k>0.

Passo 3

Como
dVdt=dVdhdhdt=pi4h^2dhdt,
vamos igualar a vazão dada:
pi4h^2dhdt=-kraizh
Isolando dh/dt obtém-se
dhdt=-4kpi,h^-3/2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
h^3/2,dh=-4kpi,dt
Integramos dos tempos 0 a t e das alturas 2 a h(t):
integral2^hh^3/2,dh=-4kpiintegral0^tdt
Isso dá
25l(h(t)r)^5/2-25,(2)^5/2=-4kpi,t
Reorganizando:
l(h(t)r)^5/2=4raiz2-5,k2,pi,t

Passo 5

Usando a condição intermediária de que em 30 min a altura cai a metade, ou seja h(30)=1, temos
1^5/2=4raiz2-5k2pi,30
1=4raiz2-75k2pi
Logo
75k2pi=4raiz2-1
e
k=2pi75,(4raiz2-1)

Passo 6

Substituindo k na expressão de h(t) obtemos
l(h(t)r)^5/2=4raiz2-52pi,2pi75(4raiz2-1),t =4raiz2-4raiz2-130,t
Finalmente,
h(t)=l(4raiz2-tfrac4raiz2-130,tr)^2/5

Passo 7

Para achar o tempo total T de esvaziamento, basta zerar h(T)=0, ou seja a quantidade entre parênteses deve ser zero:
4raiz2-4raiz2-130,T=0
T=30cdot4raiz24raiz2-1

Resposta

A altura em função do tempo é h(t)=l(4raiz2-tfrac4raiz2-130tr)^2/5 metros, e o tambor esvazia totalmente em T=30,4raiz24raiz2-1 minutos (aprox. 36,5 minutos).

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