Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

O enunciado pede para obter a solução geral da equação diferencial de primeira ordem e linear
(1 - x^2)dydx - x^2 y = (1 + x)raiz1 - x^2,
onde vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro colocamos a equação na forma padrão
dydx + p(x),y = r(x)
Dividindo tudo por 1 - x^2 temos
dydx - x^21 - x^2,y = 1 + xraiz1 - x^2
Logo, p(x) = -x^21 - x^2 e r(x) = 1 + xraiz1 - x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral p(x),dxr). Note que
-x^21 - x^2 = 1 - 11 - x^2,
de onde
integral p(x),dx = integrall(1 - 11 - x^2r)dx = x - atanh(x)
Assim,
mu(x) = e^x - atanh(x) = e^xraiz1 - x1 + x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O termo à direita fica
mu(x),r(x) = e^xraiz1 - x1 + xcdot1 + xraiz1 - x^2 = e^x
escrevendo a equação exata
ddxl(ymu(x)r) = e^x
Integramos ambos os lados:
ymu(x) = integral e^x dx = e^x + C

Passo 5

Isolando y(x) e usando mu(x)=e^xraiztfrac1 - x1 + x, obtemos
y = e^x + Ce^xraiztfrac1 - x1 + x = raiz1 + x1 - x + C,e^-xraiz1 + x1 - x

Passo 6

Podemos escrever a solução geral de forma mais enxuta, fatorando raiztfrac1 + x1 - x.

Resposta

y(x)=\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\bigl(1+Ce^{-x}\bigr)

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