Mostre que a função
y(t)=e^-alpha t[A cos (omega t)+B sin (omega t)]
onde A, B, alpha e omega são constantes, pode ser escrita como
y(t)=Ce^-alpha t cos (omega t-beta)
reescrevendo A e B em função de C e beta, definidos por C equiv raizA^2+B^2 e beta equiv tan ^-1(B / A).

Passo 1

O enunciado dá a função
y(t)=e^-alpha tl[Acos(omega t)+Bsin(omega t)r]
e pede para mostrá-la na forma
y(t)=C,e^-alpha tcosl(omega t-betar)
onde
CequivraizA^2+B^2, betaequivtan^-1!l(tfracBAr)
O conteúdo principal é usar identidades trigonométricas para converter uma soma de cosseno e seno num único cosseno com fase deslocada.

Passo 2

Das definições de C e beta temos
C=raizA^2+B^2 Longrightarrow AC=cosbeta,BC=sinbeta,
pois tanbeta=B/A e cos^2beta+sin^2beta=1. Logo
A=Ccosbeta, B=Csinbeta

Passo 3

Substituindo essas expressões em y(t) obtemos
y(t) =e^-alpha tl[Ccosbetacos(omega t)+Csinbetasin(omega t)r] =C,e^-alpha tl[cosbetacos(omega t)+sinbetasin(omega t)r]

Passo 4

Usamos agora a identidade trigonométrica
cosl(omega t-betar) =cos(omega t)cosbeta+sin(omega t)sinbeta
Portanto
y(t)=C,e^-alpha tcosl(omega t-betar),
como queríamos demonstrar.

Resposta

y(t)=C,e^-alpha tcosl(omega t-betar),
com C=raizA^2+B^2 e beta=tan^-1(B/A), e vale também
;A=Ccosbeta,;B=Csinbeta

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