Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
d) f(t)=l0, t<pi2 cos (t), pi2<t<3 pi2 0, t>3 pi2

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= 0, & t<tfracpi2, cos(t), & tfracpi2<t<tfrac3pi2, 0, & t>tfrac3pi2,
e pede a transformada de Laplace. Vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e observar que só há contribuição quando tin[tfracpi2,tfrac3pi2].

Passo 2

Pela definição,
Lf(s) =integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integralpi/2^3pi/2cos(t),e^-st,dt

Passo 3

Para calcular integral e^-stcos(t),dt usamos a fórmula (ou integração por partes repetida):
integral e^-stcos(t),dt =e^-stl(-scos(t)+sin(t)r)s^2+1+C

Passo 4

Logo,
Lf(s) =[e^-stl(-scos(t)+sin(t)r)s^2+1]t=pi/2^t=3pi/2

Passo 5

Avalia em t=3pi/2: cos(3pi/2)=0, sin(3pi/2)=-1, então o numerador é -1 e
F(3pi/2)=-,e^-3pi s/2s^2+1
Avalia em t=pi/2: cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1, numerador =1 e
F(pi/2)=e^-pi s/2s^2+1

Passo 6

Subtraindo F(3pi/2)-F(pi/2) vem
Lf(s) =-,e^-3pi s/2-e^-pi s/2s^2+1 =-e^-pi s/2l(1+e^-pi sr)s^2+1

Resposta

boxed Lf(s) =-e^-pi s/2+e^-3pi s/2s^2+1 =-e^-pi s2l(1+e^-pi sr)s^2+1

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