Sejam as funções
e
Calcule o determinante

e a razão .

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=2^x
e
g(x)=2^x+2
e pede (a) o determinante da matriz
f & g dfdx & dgdx
e (b) a razão f/g. Vamos usar que, para base a>0,
ddxa^x=a^xln(a),
e propriedades de determinantes e potências.

Passo 2

Calculamos as derivadas usando ddx2^x=2^xln(2):
dfdx=2^xln(2), dgdx=ddx2^,x+2=2^,x+2ln(2)

Passo 3

O determinante é
f & g f' & g' = f;g' - g;f' = 2^xcdotl(2^x+2ln(2)r) - 2^x+2cdotl(2^xln(2)r)
Como os dois termos são iguais, a diferença é zero:
f & g f' & g' =0

Passo 4

Para a razão,
fg = 2^x2^,x+2 = 2^,x-(x+2) = 2^-2 = 14

Resposta

Determinante =0
Razão f/g=1/4

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