Mostre que a função \operatorname{sen}(x) é contínua para qualquer x \in \mathbb{R}. Em outra palavras, mostre que:
\lim _{x \rightarrow a} \operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(a)
Fazer a mundança de variável x=t+a

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo a\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(a).
Foi sugerida a mudança de variável x=t+a. As informações relevantes que temos são:
  • Queremos a propriedade para qualquer ponto a\in\mathbb{R}.
  • A mudança de variável x=t+a transforma o limite x\to a em t\to 0.
  • Para finalizar a prova precisaremos de alguns limites básicos envolvendo \operatorname{sen}t e \cos t quando t\to0.

Passo 2

Fazer a mudança de variável para reescrever o limite. Seja x=t+a. Quando x\to a temos t\to 0. Portanto é equivalente mostrar
\lim_{t\to 0}\operatorname{sen}(a+t)=\operatorname{sen}(a).

Passo 3

Recordar a fórmula de adição do seno (é uma identidade trigonométrica padrão):
\operatorname{sen}(a+t)=\operatorname{sen}a\cdot\cos t+\cos a\cdot\operatorname{sen}t.
Vou usar essa identidade para separar o comportamento em termos de \cos t e \operatorname{sen}t quando t\to0.

Passo 4

Mostrar que \displaystyle\lim_{t\to0}\operatorname{sen}t=0. Para isso usamos a desigualdade geométrica clássica (válida para 0<t<\tfrac{\pi}{2}; estende-se a todo t usando a paridade/imparidade das funções):
para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale
\operatorname{sen}t < t < \tan t.
Dessa desigualdade segue, para 0<t<\tfrac{\pi}{2},
0<\operatorname{sen}t < t.
Para t<0 podemos usar que \operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen}t, então em módulo obtemos a desigualdade global
|\operatorname{sen}t|\le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze): como |\operatorname{sen}t|\le|t| e \lim_{t\to0}|t|=0, obtemos
\lim_{t\to0}\operatorname{sen}t=0.

Passo 5

Mostrar que \displaystyle\lim_{t\to0}\cos t=1. Use a identidade de redução:
\cos t - 1 = -2\sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right).
Pela Passo 4, \displaystyle\lim_{u\to0}\operatorname{sen}u=0; em particular com u=\tfrac{t}{2} temos \displaystyle\lim_{t\to0}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)=0. Então
\lim_{t\to0}\big(\cos t - 1\big) = \lim_{t\to0}\big(-2\sin^2\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\big) = -2\cdot 0 = 0,
ou seja
\lim_{t\to0}\cos t = 1.

Passo 6

Aplicar a identidade do Passo 3 e as propriedades de limites (limite de soma e produto). Temos
\lim_{t\to0}\operatorname{sen}(a+t) = \lim_{t\to0}\big(\operatorname{sen}a\cdot\cos t + \cos a\cdot\operatorname{sen}t\big).
Como \operatorname{sen}a e \cos a são constantes (valores fixos para o a dado), pelas regras de limite:
\lim_{t\to0}\operatorname{sen}(a+t) = \operatorname{sen}a\cdot\lim_{t\to0}\cos t + \cos a\cdot\lim_{t\to0}\operatorname{sen}t.
Usando os limites calculados nos Passos 4 e 5, isto dá
\lim_{t\to0}\operatorname{sen}(a+t) = \operatorname{sen}a\cdot 1 + \cos a\cdot 0 = \operatorname{sen}a.

Passo 7

Interpretação final: voltando à variável original x (lembrando que t=x-a), a igualdade do Passo 6 significa exatamente que, para todo a\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(a),
ou seja, \operatorname{sen}x é contínua em todo ponto a. Parabéns — provamos a continuidade de \operatorname{sen}x usando a mudança x=t+a e os limites fundamentais de seno e cosseno.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(a)

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