Mostre que a função
é contínua para qualquer
. Em outra palavras, mostre que:
Fazer a mundança de variável
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
,
Foi sugerida a mudança de variável
. As informações relevantes que temos são:
- Queremos a propriedade para qualquer ponto
. - A mudança de variável
transforma o limite em . - Para finalizar a prova precisaremos de alguns limites básicos envolvendo
e quando .
Passo 2
Fazer a mudança de variável para reescrever o limite. Seja
. Quando
temos
. Portanto é equivalente mostrar
Passo 3
Recordar a fórmula de adição do seno (é uma identidade trigonométrica padrão):
Vou usar essa identidade para separar o comportamento em termos de
e
quando
.
Passo 4
Mostrar que
. Para isso usamos a desigualdade geométrica clássica (válida para
; estende-se a todo
usando a paridade/imparidade das funções):
para vale
para
Dessa desigualdade segue, para
,
Para
podemos usar que
, então em módulo obtemos a desigualdade global
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze): como
e
, obtemos
Passo 5
Mostrar que
. Use a identidade de redução:
Pela Passo 4,
; em particular com
temos
. Então
ou seja
Passo 6
Aplicar a identidade do Passo 3 e as propriedades de limites (limite de soma e produto). Temos
Como
e
são constantes (valores fixos para o
dado), pelas regras de limite:
Usando os limites calculados nos Passos 4 e 5, isto dá
Passo 7
Interpretação final: voltando à variável original
(lembrando que
), a igualdade do Passo 6 significa exatamente que, para todo
,
ou seja,
é contínua em todo ponto
. Parabéns — provamos a continuidade de
usando a mudança
e os limites fundamentais de seno e cosseno.