Estabeleça o limite usando a definição.
Passo 1
O enunciado pede para estabelecer, usando a definição formal de limite, que
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos provar que o limite de
quando se aproxima de é .
Ou seja, devemos mostrar a propriedade indicada pela definição epsilon‑delta para todos.
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de limite (colocada de forma simbólica):
Explicando em palavras: dado qualquer grau de precisão
para a proximidade entre
e
, devemos encontrar um
(que pode depender de
) tal que sempre que
estiver dentro de distância
de
(mas
), então
estará dentro de distância
de
.
Passo 3
Vamos calcular a diferença
no nosso caso, visando relacioná‑la com
:
Agora simplifico a expressão:
Passo 4
A ideia é controlar
fazendo
. Isso sugere escolher
tal que
implique
. Uma escolha natural e direta é
Agora verifico a condição formal: seja dado um
. Tome
. Se
, então, usando a igualdade do Passo 3,
Portanto, para esse
a implicação da definição é satisfeita.
Passo 5
Concluímos a prova epsilon‑delta: para todo
existe
tal que
implica
. Logo, de acordo com a definição,
.