Estabeleça o limite usando a definição.
\lim _{x \rightarrow 5}(4 x-11)=9

Passo 1

O enunciado pede para estabelecer, usando a definição formal de limite, que
\displaystyle \lim_{x\to 5}(4x-11)=9.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4x-11.
  • Queremos provar que o limite de f(x) quando x se aproxima de 5 é 9.
    Ou seja, devemos mostrar a propriedade indicada pela definição epsilon‑delta para todos \varepsilon>0.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de limite (colocada de forma simbólica):
\lim_{x\to a} f(x)=L \iff (\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\;\text{tal que}\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras: dado qualquer grau de precisão \varepsilon>0 para a proximidade entre f(x) e L, devemos encontrar um \delta>0 (que pode depender de \varepsilon) tal que sempre que x estiver dentro de distância \delta de a (mas x\neq a), então f(x) estará dentro de distância \varepsilon de L.

Passo 3

Vamos calcular a diferença |f(x)-L| no nosso caso, visando relacioná‑la com |x-5|:
|f(x)-L| = |(4x-11)-9|.
Agora simplifico a expressão:
|(4x-11)-9| = |4x-20| = 4|x-5|.

Passo 4

A ideia é controlar 4|x-5| fazendo 4|x-5|<\varepsilon. Isso sugere escolher \delta tal que |x-5|<\delta implique 4|x-5|<\varepsilon. Uma escolha natural e direta é
\delta = \frac{\varepsilon}{4}.
Agora verifico a condição formal: seja dado um \varepsilon>0. Tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{4}>0. Se 0<|x-5|<\delta, então, usando a igualdade do Passo 3,
|f(x)-9| = 4|x-5| < 4\delta = 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon.
Portanto, para esse \delta a implicação da definição é satisfeita.

Passo 5

Concluímos a prova epsilon‑delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{4} tal que 0<|x-5|<\delta implica |(4x-11)-9|<\varepsilon. Logo, de acordo com a definição, \displaystyle \lim_{x\to 5}(4x-11)=9.

Resposta

9

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