Estabeleça o limite usando a definição.
\lim _{x \rightarrow-2}(8-3 x)=14

Passo 1

O enunciado pede que se estabeleça, usando a definição (ε–δ), o seguinte limite:
\lim_{x\to -2}(8-3x)=14.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=8-3x.
  • O ponto de interesse é x\to -2.
  • A afirmação a provar é que o limite é 14.
O que preciso mostrar (em linguagem da definição): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x, se 0<|x-(-2)|<\delta então |f(x)-14|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição (explicando as letras): seja f uma função, seja a o ponto de limite e seja L o valor limite. A definição é:
\text{Para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Aqui: a=-2, f(x)=8-3x e L=14. A tarefa é fornecer, para um \varepsilon>0 arbitrário, um \delta>0 que funcione.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x) e L para ver como controlar:
|f(x)-14| = |(8-3x)-14|.
Agora simplifico essa expressão:
(8-3x)-14 = -3x-6 = -3(x+2).
Portanto, em módulo,
|f(x)-14| = |-3(x+2)| = 3\,|x+2|.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-14|<\varepsilon. Usando a igualdade do passo anterior, isso equivale a:
3\,|x+2|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|<\frac{\varepsilon}{3}.
Logo, se conseguirmos garantir 0<|x+2|<\delta com \delta\le \dfrac{\varepsilon}{3}, teremos a desigualdade desejada.

Passo 5

Escolha explícita do \delta: para um \varepsilon>0 dado, tome
\delta=\frac{\varepsilon}{3}.
Verificação: seja um x tal que 0<|x-(-2)|=|x+2|<\delta. Então
|f(x)-14|=3\,|x+2|<3\cdot\delta=3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Assim, para esse \delta a condição da definição é satisfeita.

Passo 6

Conclusão do argumento: mostramos que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}>0 tal que 0<|x+2|<\delta implica |f(x)-14|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de limite, portanto o limite se estabelece.

Resposta

14

Exercícios relacionados