Estabeleça o limite usando a definição.
Passo 1
O enunciado pede que se estabeleça, usando a definição (ε–δ), o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A afirmação a provar é que o limite é
.
O que preciso mostrar (em linguagem da definição): para todo
existe
tal que, para todo
, se
então
.
Passo 2
Recordando a definição (explicando as letras): seja
uma função, seja
o ponto de limite e seja
o valor limite. A definição é:
Aqui:
,
e
. A tarefa é fornecer, para um
arbitrário, um
que funcione.
Passo 3
Calculo a diferença entre
e
para ver como controlar:
Agora simplifico essa expressão:
Portanto, em módulo,
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a igualdade do passo anterior, isso equivale a:
Logo, se conseguirmos garantir
com
, teremos a desigualdade desejada.
Passo 5
Escolha explícita do
: para um
dado, tome
Verificação: seja um
tal que
. Então
Assim, para esse
a condição da definição é satisfeita.
Passo 6
Conclusão do argumento: mostramos que para todo
existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de limite, portanto o limite se estabelece.