Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz
resolvendo a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função produção de Cobb–Douglas, vista como função de
com
fixo, satisfaz
a partir da equação diferencial
O conteúdo aqui é resolução de ODE de primeira ordem e separação de variáveis.
Passo 2
Começamos separando as variáveis na equação
Reescrevendo, temos
ou, de forma equivalente,
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Como
é constante, obtemos
onde
é a constante de integração (que pode depender do parâmetro
).
Passo 4
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Como
aparece apenas como parâmetro, definimos
, chegando a