Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P(L, K0)=Ci(K0) L^prime prime resolvendo a equação diferencial
d Pd L=alpha PL

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função produção de Cobb–Douglas, vista como função de L com K0 fixo, satisfaz
P(L,K0)=Ci(K0),L^alpha
a partir da equação diferencial
dPdL=alpha,PL
O conteúdo aqui é resolução de ODE de primeira ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Começamos separando as variáveis na equação
dPdL=alpha,PL
Reescrevendo, temos
1P,dPdL=alpha,1L
ou, de forma equivalente,
dPP=alpha,dLL

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dPP = integral alpha,dLL
Como alpha é constante, obtemos
ln P = alpha,ln L + C,
onde C é a constante de integração (que pode depender do parâmetro K0).

Passo 4

Aplicando exponencial em ambos os lados:
P = e^ln P = e^alpha,ln L + C = e^C,e^alpha,ln L = e^C,L^alpha
Como K0 aparece apenas como parâmetro, definimos Ci(K0) = e^C, chegando a
P(L,K0) = Ci(K0),L^alpha

Resposta

P(L,K0) = Ci(K0),L^alpha

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