Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz
resolvendo a equação diferencial
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que a função produção de Cobb–Douglas satisfaz
resolvendo a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
-
é função de e de um parâmetro fixo ; aqui derivamos em relação a , tratando como constante. -
é uma constante (expoente). - A equação diferencial é de primeira ordem e relaciona a derivada de
em relação a com e . - Devemos encontrar a expressão geral de
em função de (com uma constante de integração que pode depender de ).
Passo 2
Reconhecer o tipo da equação e a estratégia: a equação
é uma equação diferencial separável (ou uma equação diferencial linear simples). “Separável” significa que podemos agrupar termos com
de um lado e termos com
do outro, para depois integrar. Vou separar as variáveis: dividir ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) e multiplicar por
.
Passo 3
Fazer a separação e escrever a integral:
Agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Passo 4
Calcular as integrais: a integral de
é o logaritmo natural de
e a integral de
é
vezes o logaritmo natural de
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração. (Observação: se
essa é já uma solução trivial; caso contrário trabalhamos com
.)
Passo 5
Eliminar o logaritmo exponenciando: aplicando exponencial em ambos os lados,
Chamando
de uma nova constante positiva
obtemos
. Podemos então incorporar o sinal de
na constante (permitindo que a constante seja qualquer número real, incluindo zero). Além disso, em contextos de produção normalmente
, então podemos tirar as barras e escrever
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Explicar por que a constante pode depender de
: como a derivada original foi feita em relação a
mantendo
fixo, a “constante” de integração pode, em geral, ser qualquer função do parâmetro que foi mantido fixo. Ou seja, ao integrar
trata-se de obter uma família de curvas parametrizadas por
, logo a constante de integração pode ser
. Assim a solução geral, levando em conta o parâmetro
, é
Passo 7
Comentário didático e verificação rápida: podemos verificar derivando a solução encontrada em relação a
:
portanto a solução satisfaz a equação diferencial. Isso confirma que a forma
é correta.