Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P\left(L, K_{0}\right)=C_{1}\left(K_{0}\right) L^{\alpha} resolvendo a equação diferencial
\frac{d P}{d L}=\alpha \frac{P}{L}

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a função produção de Cobb–Douglas satisfaz \displaystyle P\bigl(L,K_{0}\bigr)=C_{1}\bigl(K_{0}\bigr)L^{\alpha} resolvendo a equação diferencial
\frac{dP}{dL}=\alpha\frac{P}{L}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • \displaystyle P é função de \displaystyle L e de um parâmetro fixo \displaystyle K_{0}; aqui derivamos em relação a \displaystyle L, tratando \displaystyle K_{0} como constante.
  • \displaystyle \alpha é uma constante (expoente).
  • A equação diferencial é de primeira ordem e relaciona a derivada de \displaystyle P em relação a \displaystyle L com \displaystyle P e \displaystyle L.
  • Devemos encontrar a expressão geral de \displaystyle P em função de \displaystyle L (com uma constante de integração que pode depender de \displaystyle K_{0}).

Passo 2

Reconhecer o tipo da equação e a estratégia: a equação
\frac{dP}{dL}=\alpha\frac{P}{L}
é uma equação diferencial separável (ou uma equação diferencial linear simples). “Separável” significa que podemos agrupar termos com \displaystyle P de um lado e termos com \displaystyle L do outro, para depois integrar. Vou separar as variáveis: dividir ambos os lados por \displaystyle P (assumindo momentaneamente \displaystyle P\neq0) e multiplicar por dL.

Passo 3

Fazer a separação e escrever a integral:
\frac{1}{P}\,dP=\alpha\frac{1}{L}\,dL.
Agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{P}\,dP = \int \alpha\frac{1}{L}\,dL.

Passo 4

Calcular as integrais: a integral de \displaystyle 1/P é o logaritmo natural de |P| e a integral de \displaystyle \alpha/L é \displaystyle \alpha vezes o logaritmo natural de |L|. Assim obtemos
\ln|P|=\alpha\ln|L|+C,
onde C é a constante de integração. (Observação: se \displaystyle P\equiv0 essa é já uma solução trivial; caso contrário trabalhamos com |P|.)

Passo 5

Eliminar o logaritmo exponenciando: aplicando exponencial em ambos os lados,
|P|=e^{C}\,|L|^{\alpha}.
Chamando \displaystyle e^{C} de uma nova constante positiva \displaystyle C_{2} obtemos |P|=C_{2}|L|^{\alpha}. Podemos então incorporar o sinal de \displaystyle P na constante (permitindo que a constante seja qualquer número real, incluindo zero). Além disso, em contextos de produção normalmente \displaystyle L>0, então podemos tirar as barras e escrever
P=C_{1}L^{\alpha},
onde \displaystyle C_{1} é a constante de integração.

Passo 6

Explicar por que a constante pode depender de \displaystyle K_{0}: como a derivada original foi feita em relação a \displaystyle L mantendo \displaystyle K_{0} fixo, a “constante” de integração pode, em geral, ser qualquer função do parâmetro que foi mantido fixo. Ou seja, ao integrar \displaystyle \partial P/\partial L trata-se de obter uma família de curvas parametrizadas por \displaystyle K_{0}, logo a constante de integração pode ser \displaystyle C_{1}=C_{1}\bigl(K_{0}\bigr). Assim a solução geral, levando em conta o parâmetro \displaystyle K_{0}, é
P\bigl(L,K_{0}\bigr)=C_{1}\bigl(K_{0}\bigr)L^{\alpha}.

Passo 7

Comentário didático e verificação rápida: podemos verificar derivando a solução encontrada em relação a \displaystyle L:
\frac{d}{dL}\bigl(C_{1}(K_{0})L^{\alpha}\bigr)=C_{1}(K_{0})\alpha L^{\alpha-1}=\alpha\frac{C_{1}(K_{0})L^{\alpha}}{L}=\alpha\frac{P}{L},
portanto a solução satisfaz a equação diferencial. Isso confirma que a forma \displaystyle P\bigl(L,K_{0}\bigr)=C_{1}\bigl(K_{0}\bigr)L^{\alpha} é correta.

Resposta

\displaystyle P\bigl(L,K_{0}\bigr)=C_{1}\bigl(K_{0}\bigr)L^{\alpha}

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