Mostre que a função y=A sen k x cos omega t satisfaz a equação de onda partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda, que é dada por:
y = A sin(kx) cos(omega t)
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $ y $ em relação a $ x $ e $ t $ e verificar se elas se relacionam conforme a equação de onda. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $. Começamos encontrando a primeira derivada:
y
Agora, derivamos mais uma vez em relação a $ x $:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $. Primeiro, a primeira derivada:
y
Derivando novamente em relação a $ t $:
t

Passo 4

Agora que temos ambas as derivadas de segunda ordem, vamos substituir na equação de onda para verificar se a igualdade é verdadeira:
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(kx) cos(omega t)
1v^2 partial^2 ypartial t^2 = 1v^2 ( -A omega^2 sin(kx) cos(omega t) ) = -A omega^2v^2 sin(kx) cos(omega t)

Passo 5

Para que a equação de onda seja satisfeita, as duas expressões devem ser iguais:
-A k^2 sin(kx) cos(omega t) = -A omega^2v^2 sin(kx) cos(omega t)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ -A \sin(kx) \cos(\omega t) $ (desde que $ A \neq 0 $ e $ \sin(kx) \cos(\omega t) \neq 0 $):
-A sin(kx) cos(omega t)

Passo 6

Rearranjando a igualdade para expressar $ v $ em termos de $ k $ e $ \omega $:
v
Isso mostra que, desde que $ v = \frac{\omega}{k} $, a função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda desde que $ v = \frac{\omega}{k} $.

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