Mostre que a função
satisfaz a equação de onda
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda, que é dada por:
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $ y $ em relação a $ x $ e $ t $ e verificar se elas se relacionam conforme a equação de onda. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $. Começamos encontrando a primeira derivada:
Agora, derivamos mais uma vez em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $. Primeiro, a primeira derivada:
Derivando novamente em relação a $ t $:
Passo 4
Agora que temos ambas as derivadas de segunda ordem, vamos substituir na equação de onda para verificar se a igualdade é verdadeira:
Passo 5
Para que a equação de onda seja satisfeita, as duas expressões devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ -A \sin(kx) \cos(\omega t) $ (desde que $ A \neq 0 $ e $ \sin(kx) \cos(\omega t) \neq 0 $):
Passo 6
Rearranjando a igualdade para expressar $ v $ em termos de $ k $ e $ \omega $:
Isso mostra que, desde que $ v = \frac{\omega}{k} $, a função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda.
Resposta
A função $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ satisfaz a equação de onda desde que $ v = \frac{\omega}{k} $.