Questão 5. (Movimento harmônico) A posição de uma partícula é dada por
s(t)=\sin (2 t), \quad t \text { em segundos. }
Determine v(t) e a(t).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a posição da partícula é dada por
s(t)=\sin(2t),\quad t\text{ em segundos.}
O problema pede explicitamente: determinar v(t) e a(t). Informações relevantes dadas: a expressão de s(t) e que a variável t está em segundos. Não há outras informações sobre unidades de comprimento, então vou usar “unidades de posição” para s.

Passo 2

Definições importantes (o que exatamente significa pedir v(t) e a(t)):
v(t)=\frac{d s}{d t}\quad\text{(velocidade)},
a(t)=\frac{d v}{d t}=\frac{d^2 s}{d t^2}\quad\text{(aceleração)}.çã
Explicação simples: v(t) é a taxa de variação de s em relação ao tempo; a(t) é a taxa de variação da velocidade. Se s estivesse em metros, v teria unidades metros por segundo e a metros por segundo ao quadrado.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (aula rápida e sem complicar):
  • Derivada da função seno composta: se u=u(t), então
\frac{d}{dt}\big(\sin(u(t))\big)=\cos(u(t))\cdot u'(t).
Isto é a aplicação do chamado “regra da cadeia”: derivamos a função exterior (seno) e multiplicamos pela derivada do interior u(t).
  • Derivada da função cosseno composta: se u=u(t), então
\frac{d}{dt}\big(\cos(u(t))\big)=-\sin(u(t))\cdot u'(t).
  • A derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dt}\big(C\cdot f(t)\big)=C\cdot f'(t).
Exemplo rápido para fixar: \displaystyle \frac{d}{dt}\sin(3t)=\cos(3t)\cdot 3=3\cos(3t).

Passo 4

Cálculo de v(t)=s'(t). Aplicando a regra da cadeia a s(t)=\sin(2t): o interior é u(t)=2t e u'(t)=2. Logo,
v(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2.
Simplificando:
v(t)=2\cos(2t).

Passo 5

Pequena observação sobre o resultado de v(t): a velocidade oscila com cosseno e tem amplitude 2 (unidades de posição por segundo, se s estivesse em unidades de posição). A presença do fator 2 veio da derivada do argumento 2t.

Passo 6

Cálculo de a(t)=v'(t). Como v(t)=2\cos(2t), usamos que a derivada da constante vezes função é a constante vezes a derivada da função, e a regra da cadeia para \cos(2t):
a(t)=\frac{d}{dt}\big(2\cos(2t)\big)=2\cdot\frac{d}{dt}\cos(2t)=2\cdot\big(-\sin(2t)\cdot 2\big).
Multiplicando:
a(t)=-4\sin(2t).

Passo 7

Verificação alternativa (checar consistência): calculando diretamente a segunda derivada de s(t),
\frac{d^2 s}{dt^2}=\frac{d}{dt}\big(\underbrace{2\cos(2t)}_{=s'(t)}\big)=-4\sin(2t),
o que coincide com o a(t) obtido acima. Observação física útil: nota que
a(t)=-4s(t),
pois s(t)=\sin(2t) e a(t)=-4\sin(2t). Isso mostra a característica do movimento harmônico onde a aceleração é proporcional a - posição.

Resposta

v(t)=2\cos(2t)
a(t)=-4\sin(2t)

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