Questão 5. (Movimento harmônico) A posição de uma partícula é dada por
s(t)=\sin (2 t), \quad t \text { em segundos. }
Determine v(t) e a(t).
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a posição da partícula é dada por
s(t)=\sin(2t),\quad t\text{ em segundos.}
O problema pede explicitamente: determinar v(t) e a(t). Informações relevantes dadas: a expressão de s(t) e que a variável t está em segundos. Não há outras informações sobre unidades de comprimento, então vou usar “unidades de posição” para s.
Passo 2
Definições importantes (o que exatamente significa pedir v(t) e a(t)):
Explicação simples: v(t) é a taxa de variação de s em relação ao tempo; a(t) é a taxa de variação da velocidade. Se s estivesse em metros, v teria unidades metros por segundo e a metros por segundo ao quadrado.
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (aula rápida e sem complicar):
Derivada da função seno composta: se u=u(t), então
A derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dt}\big(C\cdot f(t)\big)=C\cdot f'(t).
Exemplo rápido para fixar: \displaystyle \frac{d}{dt}\sin(3t)=\cos(3t)\cdot 3=3\cos(3t).
Passo 4
Cálculo de v(t)=s'(t). Aplicando a regra da cadeia a s(t)=\sin(2t): o interior é u(t)=2t e u'(t)=2. Logo,
v(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2.
Simplificando:
v(t)=2\cos(2t).
Passo 5
Pequena observação sobre o resultado de v(t): a velocidade oscila com cosseno e tem amplitude 2 (unidades de posição por segundo, se s estivesse em unidades de posição). A presença do fator 2 veio da derivada do argumento 2t.
Passo 6
Cálculo de a(t)=v'(t). Como v(t)=2\cos(2t), usamos que a derivada da constante vezes função é a constante vezes a derivada da função, e a regra da cadeia para \cos(2t):