Mostre que uma função
é uma transformação linear se e somente se existirem
tais que
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
e pede para provar a equivalência bi-direcional:
- Direção 1 (existe
linear): mostrar que, se existirem tais que
para todo
, então
é transformação linear.
- Direção 2 (linear
existe): mostrar que, se é linear, então existem com a mesma expressão acima.
As informações relevantes do enunciado:
- O domínio é
(tuplas com operações coordenada a coordenada). - O contradomínio é
(o corpo). - A igualdade pedida envolve somas escalares das coordenadas por coeficientes
.
Passo 2
Definição lembrada (muito importante para a prova):
é linear se, para todos
e todo
,
Também usamos a base canônica de
: para cada
defina
como o vetor com
na coordenada
e
nas outras, ou seja
Qualquer vetor
se decomõe assim:
Passo 3
Assuma que
é linear. Defina para cada
Esses são elementos de
(pois
tem imagem em
). Agora pegue um vetor arbitrário
. Usando a decomposição por
e a linearidade:
Pelo item de linearidade que permite fatorar escalares e somas (aplicando repetidamente as duas propriedades da definição), obtemos
Aqui foi usado explicitamente que
(linearidade em escalares) e que
preserva soma finita. Portanto para todo
existe a representação desejada com
.
Passo 4
Sejam
e
dois conjuntos de coeficientes tais que, para todo
,
Tomando
(o vetor cuja única coordenada não nula é
) obtemos
. Assim os coeficientes são únicos e, no caso linear, obrigatoriamente
.
Passo 5
Agora suponha que existem
tais que, para todo
,
Verificamos as propriedades de linearidade diretamente. Para
e
:
Para escalar
:
As igualdades usam propriedades usuais de somas e multiplicação em
. Assim
satisfaz as duas condições de linearidade, logo é transformação linear.
Passo 6
- No exame: para provar existência construa
e faça exatamente os passos do Passo 3. Isso é rápido e seguro. - Para mostrar linearidade de uma fórmula do tipo
mostre as duas propriedades (adição e multiplicação por escalar) como no Passo 5. - Interpretação prática: um funcional linear em
é sempre um “produto escalar” com um vetor linha ; em notação matricial (matriz vezes vetor ).
Resposta
Existem
, dados por
, tais que, para todo
,