Mostre que uma função T: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K} é uma transformação linear se e somente se existirem a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K} tais que
T\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K} e pede para provar a equivalência bi-direcional:
  • Direção 1 (existe \Rightarrow linear): mostrar que, se existirem a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K} tais que
T(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_i x_i
para todo (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n, então T é transformação linear.
  • Direção 2 (linear \Rightarrow existe): mostrar que, se T é linear, então existem a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K} com a mesma expressão acima.
As informações relevantes do enunciado:
  • O domínio é \mathbb{K}^n (tuplas (x_1,\dots,x_n) com operações coordenada a coordenada).
  • O contradomínio é \mathbb{K} (o corpo).
  • A igualdade pedida envolve somas escalares das coordenadas por coeficientes a_i.

Passo 2

Definição lembrada (muito importante para a prova): T:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K} é linear se, para todos u,v\in\mathbb{K}^n e todo \alpha\in\mathbb{K},
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Também usamos a base canônica de \mathbb{K}^n: para cada i=1,\dots,n defina e_i como o vetor com 1 na coordenada i e 0 nas outras, ou seja
e_1=(1,0,0,\dots,0),\\ e_2=(0,1,0,\dots,0),\\ \dots,\\ e_n=(0,\dots,0,1).
Qualquer vetor x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n se decomõe assim:
x=\sum_{i=1}^n x_i e_i.

Passo 3

Assuma que T é linear. Defina para cada i
a_i := T(e_i).
Esses são elementos de \mathbb{K} (pois T tem imagem em \mathbb{K}). Agora pegue um vetor arbitrário x=(x_1,\dots,x_n). Usando a decomposição por e_i e a linearidade:
T(x)=T\!\left(\sum_{i=1}^n x_i e_i\right).
Pelo item de linearidade que permite fatorar escalares e somas (aplicando repetidamente as duas propriedades da definição), obtemos
T\!\left(\sum_{i=1}^n x_i e_i\right) =\sum_{i=1}^n T(x_i e_i) =\sum_{i=1}^n x_i T(e_i) =\sum_{i=1}^n a_i x_i.
Aqui foi usado explicitamente que T(x_i e_i)=x_i T(e_i) (linearidade em escalares) e que T preserva soma finita. Portanto para todo x\in\mathbb{K}^n existe a representação desejada com a_i=T(e_i).

Passo 4

Sejam a_1,\dots,a_n e b_1,\dots,b_n dois conjuntos de coeficientes tais que, para todo x,
\sum_{i=1}^n a_i x_i=\sum_{i=1}^n b_i x_i.
Tomando x=e_j (o vetor cuja única coordenada não nula é x_j=1) obtemos a_j=b_j. Assim os coeficientes são únicos e, no caso linear, obrigatoriamente a_i=T(e_i).

Passo 5

Agora suponha que existem a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K} tais que, para todo x=(x_1,\dots,x_n),
T(x)=\sum_{i=1}^n a_i x_i.
Verificamos as propriedades de linearidade diretamente. Para u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n):
T(u+v)=\sum_{i=1}^n a_i (u_i+v_i) =\sum_{i=1}^n a_i u_i + \sum_{i=1}^n a_i v_i = T(u)+T(v).
Para escalar \alpha\in\mathbb{K}:
T(\alpha u)=\sum_{i=1}^n a_i (\alpha u_i) =\alpha \sum_{i=1}^n a_i u_i =\alpha T(u).
As igualdades usam propriedades usuais de somas e multiplicação em \mathbb{K}. Assim T satisfaz as duas condições de linearidade, logo é transformação linear.

Passo 6

  • No exame: para provar existência construa a_i=T(e_i) e faça exatamente os passos do Passo 3. Isso é rápido e seguro.
  • Para mostrar linearidade de uma fórmula do tipo T(x)=\sum a_i x_i mostre as duas propriedades (adição e multiplicação por escalar) como no Passo 5.
  • Interpretação prática: um funcional linear em \mathbb{K}^n é sempre um “produto escalar” com um vetor linha a=(a_1,\dots,a_n); em notação matricial T(x)=a\,x (matriz 1\times n vezes vetor n\times1).

Resposta

Existem a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K}, dados por a_i=T(e_i), tais que, para todo (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n,
T(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_i x_i.

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